Näherungsweise Bestimmung der Eigenkreisfrequenz eines nichtlinearen Schwingers

Für die im allgemeinen nichtlineare DGL 2.Ordnung

y°° + f(y) = f(y0) mit y=y(t),

die einen einläufigen ungedämpften Schwinger mit allgemeiner Rückstellfunktion (Federkennlinie) beschreibt, wird mit Hilfe von JavaScript die Eigenkreisfrequenz näherungsweise bestimmt.
(y0, f(y0)) ist dabei der Arbeitspunkt auf der Kennlinie f(y). Im Falle, dass der Arbeitspunkt bei (0, 0) liegt, vereinfacht sich die DGL zu:

y°° + f(y) = 0 mit y=y(t).

Die Eigenkreisfrequenz ω ist bei nichtlinearen Schwingern abhängig von der Amplitude der Schwingungen.
Verwendet wird hier das Galerkin-Verfahren. Das Verfahren beruht hier auf einem harmonischen Ansatz:

y(t) = A*sin(ω*t) + ym.

Der tatsächliche Lösungsverlauf ist normalerweise nur periodisch.
ym ist eine Verschiebung der mittleren Lage. Für eine zum Arbeitspunkt antimetrische Rückstellfunktion ist ym = y0.

Im Sinne der Galerkin-Methode wird der Ansatz in die DGL eingesetzt, die DGL mit je einer der Komponenten des Ansatzes multipliziert und über die Periodendauer integriert.
Die beiden Gleichungen erlauben es dann die dynamische Verschiebung ym und die Eigenkreisfrequenz ω in Abhängigkeit von der angenommenen Amplitude A zu bestimmen.

Ist die Rückstellfunktion f(y) im Arbeitspunkt (y0, f(y0)) stetig und differenzierbar, so sind die Eigenfrequenzen für kleine Amplituden die gleichen, die man durch Linearisieren mit Hilfe der 1. Ableitung der Rückstellfunktion f(y) erhalten würde.
Der Vorteil dieses Verfahrens liegt darin, dass man auch dann Eigenfrequenzen bestimmen kann, wenn die Rückstellfunktion nicht differenzierbar bzw. nicht stetig ist.
Ferner sind die Ergebnisse nicht auf kleine Schwingungsamplituden beschränkt - allerdings sind sie damit amplitudenabhängig.

f(y)
y0 Amax Beispiele



Anmerkungen zur Rückstellfunktion:
Ist die Rückstellfunktion f(y) in y=y0 stetig und differenzierbar, kann man die Differentialgleichung mit Hilfe der 1. Ableitung von f(y) linearisieren zu:

y°° + f'(y0)*y = 0

und erhält als Eigenkreisfrequenz, allerdings nur für kleine Amplituden der freien Schwingungen:

ω = √f'(y0)

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