Fourierreihen

Eine stetige periodische Funktionen lässt sich beliebig genau durch die Teilsummen ihrer Fourierreihenentwicklung approximieren.
Hat eine periodische Funktion Sprungstellen, konvergiert die Fourierreihenentwicklung hier gegen den Mittelwert des links- und rechtsseitigen Funktionswertes.

Für periodische Funktionen f(x) werden hier die Koeffizienten der Fourierreihe durch numerische Integration bestimmt.
Alternativ kann man die Technik der FFT anwenden. Dann muss die Anzahl der ausgewerteten Stellen (Abtastpunkte) der Funktion eine Potenz von 2 sein.
Hier soll allerdings weniger das schnelle Generieren der Reihenkoeffizienten im Vordergrund stehen, als vielmehr die Appoximation durch Teilsummen.

Unter Verzicht auf FFT kann man dann die Anzahl der Abtastpunkte frei wählen.
Diese Anzahl bestimmt, wieviele Koeffizienten der Reihe maximal bestimmt werden können und wie genau die numerische Integration ausfällt.
Verwendet man die Koeffizienten im Sinne einer Teilsumme der Fourierreihenentwicklung, erhält man eine Näherung für die gegebene Funktion f(x).
Durch die Angabe von kmax kann man festlegen, wieviele Koeffizienten der Reihe in der Grafik und Tabellenausgabe berücksichtigt werden sollen.

Graphisch dargestellt werden in einem Diagramm die gegebene Funktion f(x) (schwarz) sowie deren Approximation (gelb) durch die ersten Fourierreihenterme.
In einem zweiten Diagramm werden die in der abgebrochenen Reihe berücksichtigten Fourierreihenkoeffizienten dargestellt.

f(x)
Periodenlänge L
Abtastpunkte Rechnung mit FFT
kmax
Beispiele




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