Widerstandsnetzwerk berechnen mit Knotenpotentialverfahren

Mit Hilfe des modifizierten Knotenpotentialverfahrens wird für ein Widerstandsnetzwerk das beschreibende lineare Gleichungssystem erstellt und dann gelöst.
Die Potentiale an allen Netzwerkknoten werden bestimmt und daraus dann für alle Widerstände die zugehörigen Ströme und Spannungen ermittelt.
Die Spannungsquellen können sowohl ideale Spannungsquellen mit Innenwiderstand Ri=0 als auch reale Spannungsquellen sein.

 

Zu den Modelldaten

Neue Punkte kann man über die Tabelle anlegen oder aber auch durch Doppelklick im Zeichnungsbereich.
Bestehende Punkte kann man dann auch durch Klickziehen verändern.

Widerstände werden über 2 Knoten und einen Widerstandswert festgelegt.
Auch ideale Verbindungsleitungen werden hier definiert, über die beiden Anschlussknoten und Widerstand 0.

Spannungsquellen werden über 2 Knoten, die dazwischen anliegende Spannung und den Innenwiderstand festgelegt.
Falls der Innenwiderstand 0 ist, handelt es sich um eine ideale Spannungsquelle.

Zum Berechnungsverfahren

Das Knotenpotentialverfahren basiert auf der Kirchhoffschen Knotenregel: Die Summe aller Ströme an jedem Knoten ist 0.
Für jede Verbindung zwischen 2 Knoten wird deshalb der Leitwert (Kehrwert des Widerstands) bestimmt.
Aus dem Produkt von Leitwert mit der Potentialdifferenz der zughörigen beiden Knoten ergibt sich der Strom durch den Widerstand.
Dieser Strom geht durch beide Knoten, muss also zweimal im Gesamtgleichungssystem berücksichtigt werden.
Das Gleichungssystem, das alle Knotenstrombilanzen darstellt, hat als Unbekannte die Knotenpotentiale φ:
G φ = iQ
Die rechte Seite iQ des Gleichungssystems ist 0 bis auf die Knoten, die einer Stromquelle zugehören.
Die symmetrische Leitwertmatrix G nimmt für jeden Widerstand Rjk zwischen 2 Knoten j und k den zugehörigen Leitwert gjk=1/Rjk an 4 Stellen auf:
Gjj = Gjj + gjk, Gjk = Gjk - gjk (Zeile j)
Gkj = Gkj - gjk, Gkk = Gkk + gjk (Zeile k)
Wenn alle Leitwerte eingetragen sind, ist die Zeile j (bzw. k) des Gesamtsystems die Strombilanz für den Knoten j (bzw. k). Somit wird der Strom, der durch einen Widerstand Rjk geht, stets in 2 Zeilen für die Knoten j und k berücksichtigt.

Das hier verwendetet modifizierte Knotenpotentialverfahren erweitert das Gleichungssystem wie folgt:
Für Verbindungsleitungen und ideale Spannungsquellen wird je ein zusätzlicher Strom als Unbekannte eingeführt, und die Potentialdifferenz in einer zusätzlichen Gleichung aufgenommen.
Dadurch fließt dann auch durch die Verbindungsleitungen ein Strom, der in der Visualisierung der Ergebnisse angezeigt wird.
Das Gleichungssystem nimmt dann die folgende Gestalt an:
G φ + DT ih = iQ
D φ + 0 ih = u
Die Matrix D formuliert mit Hilfe von φ die Potentialdifferenzen von idealen Spannungsquellen und Verbindungsleitungen.
Die Vektor u enthält die Spannung der idealen Spannungsquellen und ist 0 bei Verbindungsleitungen.
Damit das Gleichungssystem lösbar wird, muss ein beliebiger Knoten geerdet werden, d.h. sein Potential muss auf 0 gesetzt werden.

Zu den Ergebnissen

Visualisiert wird der Strom im Netzwerk. Die Intensität der Blaufärbung ist dabei ein Maß für die Stromstärke im jeweiligen Widerstand.
Außerdem wird mit Pfeilen am Widerstand die technische Stromrichtung angezeigt.

weitere JavaScript-Programme