Mohrscher Spannungskreis und Hauptnormalspannungen

Für den allgemeinen 3-dimensionalen Spannungszustand, der durch 6 Spannungsangaben bestimmt ist, werden die Hauptnormalspannungen und die Hauptnormalspannungsrichtungen bestimmt.
Die Hauptnormalspannungen und die Mohrschen Spannungskreise werden grafisch dargestellt.
Die gelben Punkte markieren die Hauptnormalspannungen. Die zugehörigen Richtungen, sind Richtungen unter denen keine zugehörige Schubspannung gegeben ist.

Im schattierten Bereich zwischen den Kreisen, einschließlich der Kreisperipherie, liegen alle möglichen Paare von Normalspannung und Schubspannung (σ, τ), die der angegebene Spannungszustand hervorruft.
Die 3 roten Punkte errechnen sich aus den angegeben Spannungen bezogen auf das xyz-Koordinatensystem.

Beim zweiachsigen Spannungszustand (σz=0, τyz=0, τzx=0) kann man einen Kreis zeichnen, bei dem die beiden roten Punkte (σx, τxy) und (σy, -τxy) des gegebenen Spannungszustandes einander gegenüber auf der Peripherie des Kreises liegen.
Eine der drei Hauptnormalspannungen ist hier stets 0 und die zugehörige Hauptnormalspannungsrichtung ist die z-Richtung.
Das liefert einen dritten roten Punkt bei (0, 0).

Beim dreiachsigen Spannungszustand existieren im Allgemeinen auf einer jeden Schnittfläche 2 Schubspannungen in zueinander senkrechten Raumrichtungen. Für deren Darstellung muss man sie zu einer resultierenden Schubspannung zusammenfassen. Dabei gehen Vorzeichen verloren. Somit hat man hier, anders als im zweiachsigen Falle, keine Punkte unterhalb der σ-Achse.
Ferner liegen die 3 roten Punkte (σx, (τxy2xz2)1/2), (σy, (τyz2xy2)1/2) und (σz, (τyz2xz2)1/2) des Spannungszustandes jetzt nicht mehr unbedingt auf einer Kreisperipherie sondern können auch im schattierten Bereich zwischen den Kreisen liegen.

Errechnet werden die 3 Hauptnormalspannungen als Eigenwerte des Spannungstensors, der folgendermaßen belegt ist:
σxτxyτxz
τyxσyτyz
τzxτzyσz

Wird außer den 6 Spannungen auch ein Richtungsvektor angegeben, werden die zu dieser Richtung zugehörige Normalspannung und Schubspannung berechnet.




 


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