Numerisches Integrieren von Differentialgleichungssystemen

Das Anfangswertproblem für ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung der Form

y'(t,y(t)) = f(t,y(t)) mit y(0)=y0

für 0 ≤ t ≤ tEnd mit bis zu 4 Differentialgleichungen wird numerisch gelöst, d.h. es wird y(t) bestimmt.
Der Vektor y(t) enthält die Lösungen y1(t), y2(t), ... .
Der Vektor y(0) enthält die Anfangswerte der gesuchten Lösungen.
Diese Lösungen werden grafisch als Funktionsverlauf und auch als Wertetabelle ausgegeben.
Die hier verwendeten Verfahren sind Einschrittverfahren, eines davon mit Schrittweitensteuerung, wodurch die besten Ergebnisse erzielt werden.

Auch eine Differentialgleichung 2.Ordnung lässt sich lösen, indem man sie zunächst in ein Differentialgleichungssystem umwandelt. Dazu wird eine Hilfsvariable für die erste Ableitung einführt.
So kann man z.B. eine Differentialgleichung der Form a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = f(t) lösen, indem man sie umschreibt in:
y1' = y2
y2' = (f(t) - b(t) y2 - c(t) y1)/a(t)
y1(t) ist dann die gesuchte Lösung y(t) und y2(t) die zugehörige 1. Ableitung.
Für eine Differentialgleichung n-ter Ordnung muss man analog n-1 Hilfsvariablen für y' bis y(n-1) einführen (siehe Beispiele).

Heun-Verfahren
verbessertes Euler-Cauchy-Verfahren
Runge-Kutta-Verfahren 3.Ordnung
Runge-Kutta-Verfahren 4.Ordnung
Runge-Kutta-Verfahren 4.Ordnung mit Schrittweitensteuerung
y1'(t,yi) y1(0) y1(t)
y2'(t,yi) y2(0) y2(t)
y3'(t,yi) y3(0) y3(t)
y4'(t,yi) y4(0) y3(t)
Hilfsparameter
tEnd   Δt   Beispiele



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