Lösung des allgemeinen Eigenwertproblems für symmetrische Matrizen
Hier werden Eigenwerte λi und zugehörige Eigenvektorenxi der allgemeinen Eigenwertaufgabe
Ax = λ Bx
bestimmt. Alternativ kann man auch das spezielle Eigenwertproblem
Ax = λ x
lösen. Dabei tritt die Einheitsmatrix I an die Stelle der Matrix B.
Voraussetzung für die hier verwendeten Algorithmen beim allgemeinen Eigenwertproblem ist, dass
entweder Bpositiv definit ist
oder Bregulär und Apositiv definit ist.
Anwendung bei Eigenfrequenzen von Mehrmassenschwingern
Bei der Analyse freier Schwingungen von Mehrmassenschwingern ist
A die Steifigkeitsmatrix und B die Massenmatrix.
Die Eigenschwingungsformen der freien Schwingungen kann man den Eigenvektoren entnehmen.
Die Eigenkreisfrequenzen ωi zu den Schwingungseigenformen lassen sich aus ωi=λi1/2 bestimmen.
Damit die Ergebnisse im Sinne des mehrläufigen Schwingers interpretierbar sind, muss Bpositiv semidefinit sein. Dann sind alle λi ≥ 0.
Übergang vom allgemeinen Eigenwertproblem auf das spezielle Eigenwertproblem
Ist die symmetrische Matrix B positiv definit, lässt sie sich mit Hilfe des Cholesky-Verfahrens zerlegen in ein Produkt von 2 regulären Matrizen: B = L LT.
Aus dem allgemeinen Eigenwertproblem
(A - λ B) x = 0
wird dann
(A - λ L LT) x = 0.
Multipliziert man das von links mit L-1, erhält man
(L-1A - λ LT) x = 0.
Nun führt man einen neuen Vektor y ein: x = L-Ty.
Das ergibt eingesetzt wegen LTL-T = (L-1L) T = I:
(L-1AL-T - λ I) y = 0.
Das ist das spezielle Eigenwertproblem für die Matrix L-1AL-T.
Es hat die gleichen Eigenwerte wie das ursprüngliche allgemeine Eigenwertproblem.
Das spezielle Eigenwertproblem wird dann mit dem zyklischen Jacobi-Verfahren gelöst.
Positive Definitheit
Eine Matrix A ist positiv definit, wenn für alle Vektoren x ≠ 0 gilt:
xTAx > 0.
Das ist z.B. für alle Diagonalmatrizen mit nur positiven Diagonalelementen stets erfüllt.
Auch Matrizen , bei denen jedes Diagonalelement größer ist als die Summe der Beträge der restlichen Elemente der Zeile, sind positiv definit.