Lösung des allgemeinen Eigenwertproblems für symmetrische Matrizen
Hier werden Eigenwerte λi und zugehörige Eigenvektoren ui der Eigenwertaufgabe
(K - λ M) u = 0.
bestimmt.
Bei der Analyse freier Schwingungen von Mehrmassenschwingern ist
K die Steifigkeitsmatrix und M die Massenmatrix.
Die Schwingungseigenformen der freien Schwingungen kann man den Eigenvektoren entnehmen.
Die Eigenkreisfrequenzen ωi zu den Schwingungseigenformen lassen sich aus ωi2=λi bestimmen.
Voraussetzung für die hier verwendeten Algorithmen ist, dass beide Matrizen M und Ksymmetrisch sind. M muss zusätzlich positiv definit sein.
Damit die Ergebnisse im Sinne des mehrläufigen Schwingers interpretierbar sind, muss ferner Kpositiv semidefinit sein. Dann sind alle λi ≥ 0.
Sonderfälle:
Wenn M = E gewählt wird, erhält man die Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix K.
Wenn K = E gewählt wird, erhält man die Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix M-1.
Die hier verwendeten Algorithmen sind:
das Cholesky-Verfahren zur Zerlegung der Matrix M in L LT und das Jacobi-Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren von L-1 K L-T.