Lösung des allgemeinen Eigenwertproblems für symmetrische Matrizen

Hier werden Eigenwerte λi und zugehörige Eigenvektoren xi der allgemeinen Eigenwertaufgabe

A x = λ B x

bestimmt. Alternativ kann man auch das spezielle Eigenwertproblem

A x = λ x

lösen. Dabei tritt die Einheitsmatrix I an die Stelle der Matrix B.
Voraussetzung für die hier verwendeten Algorithmen beim allgemeinen Eigenwertproblem ist, dass
entweder B positiv definit ist
oder B regulär und A positiv definit ist.





Anwendung bei Eigenfrequenzen von Mehrmassenschwingern

Bei der Analyse freier Schwingungen von Mehrmassenschwingern ist

A die Steifigkeitsmatrix und
B die Massenmatrix.

Die Eigenschwingungsformen der freien Schwingungen kann man den Eigenvektoren entnehmen.
Die Eigenkreisfrequenzen ωi zu den Schwingungseigenformen lassen sich aus ωii1/2 bestimmen.

Damit die Ergebnisse im Sinne des mehrläufigen Schwingers interpretierbar sind, muss B positiv semidefinit sein. Dann sind alle λi ≥ 0.

Übergang vom allgemeinen Eigenwertproblem auf das spezielle Eigenwertproblem

Ist die symmetrische Matrix B positiv definit, lässt sie sich mit Hilfe des Cholesky-Verfahrens zerlegen in ein Produkt von 2 regulären Matrizen:
B = L LT.
Aus dem allgemeinen Eigenwertproblem
(A - λ B) x = 0
wird dann
(A - λ L LT) x = 0.
Multipliziert man das von links mit L-1, erhält man
(L-1A - λ LT) x = 0.
Nun führt man einen neuen Vektor y ein:
x = L-T y.
Das ergibt eingesetzt wegen LTL-T = (L-1L) T = I:
(L-1AL-T - λ I) y = 0.
Das ist das spezielle Eigenwertproblem für die Matrix L-1AL-T.
Es hat die gleichen Eigenwerte wie das ursprüngliche allgemeine Eigenwertproblem.
Das spezielle Eigenwertproblem wird dann mit dem zyklischen Jacobi-Verfahren gelöst.

Positive Definitheit

Eine Matrix A ist positiv definit, wenn für alle Vektoren x0 gilt:

xTAx > 0.

Das ist z.B. für alle Diagonalmatrizen mit nur positiven Diagonalelementen stets erfüllt.
Auch Matrizen , bei denen jedes Diagonalelement größer ist als die Summe der Beträge der restlichen Elemente der Zeile, sind positiv definit.

weitere JavaScript-Programme