Lösung des allgemeinen Eigenwertproblems für symmetrische Matrizen

Hier werden Eigenwerte λi und zugehörige Eigenvektoren ui der Eigenwertaufgabe

(K - λ M) u = 0.

bestimmt.

Bei der Analyse freier Schwingungen von Mehrmassenschwingern ist

K die Steifigkeitsmatrix und
M die Massenmatrix.

Die Schwingungseigenformen der freien Schwingungen kann man den Eigenvektoren entnehmen.
Die Eigenkreisfrequenzen ωi zu den Schwingungseigenformen lassen sich aus ωi2i bestimmen.

Voraussetzung für die hier verwendeten Algorithmen ist, dass beide Matrizen M und K symmetrisch sind. M muss zusätzlich positiv definit sein.
Damit die Ergebnisse im Sinne des mehrläufigen Schwingers interpretierbar sind, muss ferner K positiv semidefinit sein. Dann sind alle λi ≥ 0.

Sonderfälle:
Wenn M = E gewählt wird, erhält man die Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix K.
Wenn K = E gewählt wird, erhält man die Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix M-1.

Die hier verwendeten Algorithmen sind:
das Cholesky-Verfahren zur Zerlegung der Matrix M in L LT und
das Jacobi-Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren von L-1 K L-T.

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