Laplace-Gleichung lösen mit BEM

Die Laplace-Gleichung

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

kann u.a. auch mit der Boundary Element Method (BEM) numerisch gelöst werden.
Anders als bei FEM muss hier nur der Rand des zu untersuchenden Gebiets diskretisiert werden.
Lösungen u(x,y) werden dann zunächst auch nur für den Rand bestimmt.
Zusätzlich kann man anschließend aber auch Lösungen im Gebietsinneren errechnen.

Ein zu untersuchendes Modell wird festgelegt durch:

Einen Polygonzup von Punkten des Randes (im Gegenuhrzeigersinn das Gebiet umlaufend nummeriert)
Randbedingungen für jedes Polygonsegment. Dabei gibt es 3 Möglichkeiten der Vorgabe:
Feldgröße u, Dirichlet-Typ (blau) oder
Richtungsableitung normal zum Rand ∂u/∂n orientiert nach außen, Neumann-Typ (rot) oder
∂u/∂n + a u = b, Robin-Typ (violett).
Falls für ein Segment keine Angabe gemacht wird, ist das eine homogene Randbedingung des Neumann Typs (weiß).
Falls gewünscht, innere Punkte des Gebietes, für die auch die Lösung bestimmt werden soll

Beispiele:

Zu den Modelldaten

Zwischen je 2 Punkten der das Gebiet umschließenden Kontur werden vom Programm automatisch gleichlange Elemente erzeugt.
In jedem dieser Elemente wird ein linearer Ansatz für den Verlauf von u(x,y) verwendet.
Für jedes Segment zwischen 2 Punkten kann man Randbedingungen vorgeben.
Bei Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen geschieht das normalerweise durch einen Wert im jeweiligen Eingabefeld. Dann ist die jeweilige Größe konstant.
Alternativ kann man auch im jeweiligen Eingabefeld zwei Werte angeben. Dann variiert die jeweilige Größe linear zwischen diesen beiden Werten.
An Punkten, an denen auf beiden Seiten unterschiedliche Wertvorgaben aber gleichen Typs gegeben sind, wird deren Mittelwert angenommen.
An Punkten, an denen auf beiden Seiten Wertvorgaben unterschiedlichen Typs gegeben sind, wird die u-Vorgabe verwendet.
Für Robin-Randbedingungen muss man beide Felder ausfüllen. Hier ist nur ein Wert pro Eingabefeld zulässig.

Zu den Ergebnissen

Entlang des Randes werden für jeden Randpunkt die jeweils fehlenden Werte (u bzw. ∂u/∂n) bestimmt und dann beide zusammen in einer Tabelle dargestellt.
Für einzelne innere Punkte des Gebiets werden am Ende der Tabelle die zugehörigen u-Werte dargestellt.
Im Gebietsinneren werden schlussletztlich u-Werte auf einem äquidistanten Raster ermittelt, die dann interpoliert werden um sie als heatmap grafisch darzustellen.

Anwendungen

Im Falle der stationären ebenen Wärmeleitung ist u(x,y) die Temperatur T(x,y) im Lösungebiet und ∂u/∂n ist die Wärmestromdichte in Richtung der Randnormalen n, für Wärmetleitfähigkeit λ=1.
Bei Fragestellungen, die nur Direchlet-Randbedingungen haben, ist die Lösung u(x,y) unabhängig von λ. Gibt es auch Neuman-Randbedingungen, gilt das nicht.
Positive Werte für ∂u/∂n kommen von einer Wärmequelle (Energiezufuhr), negative Werte für ∂u/∂n kommen von einer Wärmesenke (Energieabgabe).

Im Falle der Potentialströmung ist u(x,y) das Potential Φ(x,y) der Strömung. Die Koordinaten der Geschwindigkeit v ergeben dann zu v_x = ∂u/∂x und v_y = ∂u/∂y.
An einem festen Rand muss dann ∂u/∂n = 0 gelten, weil die Strömung nur tangential zu einem solchen Rand sein kann.

Alternativ kann man bei einer Potentialströmung u(x,y) auch als Stromfunktion Ψ(x,y) verstehen, dann mit v_x = ∂u/∂y und v_y = -∂u/∂x.
An einem festen Rand ist die Stromfunktion der daran entlang führenden Strömung konstant.
∂u/∂n ist hier die Geschwindigkeitskomponente tangential zum Rand.

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