Hier können Terme mit komplexen Zahlen berechnet werden.
Mögliche Berechnungen sind Addition, Subtraktion, Division, Multiplikation, Potenzieren und Radizieren.
Darüber hinaus können auch einige Funktionen in den Termen genutzt werden.
Diese Funktionen unterstützen alle auch komplexe Funktionsargumente.
Unterstützte Funktionen: exp(z), cos(z), sin(z), cosh(z), sinh(z), log(z), abs(z), arg(z), conjg(z), real(z), imag(z) mit z ∈ ℂ
Unterstützte Literale: i, e, PI
Darstellung
Eingabe
Ergebnis
Darstellungsmöglichkeiten für komplexe Zahlen
Es gibt im Wesentlichen 3 verschiedene Darstellungen:
Arithmetische Darstellung: z = a + i b
Hierbei ist a der Realteil von z und b ist der Imaginärteil von z.
Exponentialdarstellung: z = |z| eiφ
Hierbei ist |z| der Betrag von z und φ ist das Argument von z.
Es gilt der Zusammenhang:
|z|2 = a2 + b2
a = |z| cos φ
b = |z| sin φ
Somit ergibt sich als dritte Möglichkeit der Darstellung die
Trigonometrische Darstellung: z = |z| (cos φ + i sin φ)
Diese Darstellung wird häufig auch als Polarform bezeichnet.
In dieser Darstellung wird deutlich, dass
φ der Polarkoordinatenwinkel der komplexen Zahl z in der komplexen Zahlenebene ist und
|z| der Abstand der komplexen Zahl zum Ursprung ist.
Komplexe Rechenoperationen
Für die beiden komplexen Zahlen
z1 = a1 + i b1 = |z1| eiφ1 und
z2 = a2 + i b2 = |z2| eiφ2
gilt:
z1 + z2 = (a1 + a2) + i (b1 + b2)
z1 - z2 = (a1 - a2) + i (b1 - b2)
z1 · z2 = (a1a2 - b1b2) + i (a1b2 + a2b1) = |z1|·|z2| ei(φ1+φ2)
z1 / z2 = ((a1a2 + b1b2) + i ( a2b1 - a1b2) ) / (a22 + b22) = |z1|/|z2| ei(φ1-φ2)
Für das Potenzieren der komplexen Zahl z mit reellem Exponenten c gilt:
zc = (|z| eiφ)c = |z|c eiφc
Für die Beträge von Produkt und Quotient gilt:
|z1 · z2| = |z1| · |z2|
|z1 / z2| = |z1| / |z2|
Elementare Funktionen mit komplexem Argument
Für z ∈ ℂ mit z = x + i y gelten folgende Beziehungen:
ez = ex (cos y + i sin y)
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
cos z = cos x cosh y - i sin x sinh y
sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y
cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
log z = ln|z| + i arg(z)
zc = ec log(z), c ∈ ℂ