Rechnen mit komplexen Zahlen

Hier können Terme mit komplexen Zahlen berechnet werden.
Mögliche Berechnungen sind Addition, Subtraktion, Division, Multiplikation, Potenzieren und Radizieren.
Darüber hinaus können auch einige Funktionen in den Termen genutzt werden.
Diese Funktionen unterstützen alle auch komplexe Funktionsargumente.

Unterstützte Funktionen: exp(z), cos(z), sin(z), cosh(z), sinh(z), log(z), abs(z), arg(z), conjg(z), real(z), imag(z) mit z ∈ ℂ
Unterstützte Literale: i, e, PI


Rechenausdruck
Darstellung	Exponentialform arithmetische Form
Eingabe
Ergebnis

Darstellungsmöglichkeiten für komplexe Zahlen

Es gibt im Wesentlichen 3 verschiedene Darstellungen:

Arithmetische Darstellung (bzw. kartesische Darstellung): z = a + i b

Hierbei ist a der Realteil von z und b ist der Imaginärteil von z.

Exponentialdarstellung: z = |z| e^iφ

Hierbei ist |z| der Betrag von z und φ ist das Argument von z.
Es gilt der Zusammenhang:
|z|² = a² + b²
a = |z| cos φ
b = |z| sin φ
Somit ergibt sich als dritte Möglichkeit der Darstellung die

Trigonometrische Darstellung: z = |z| (cos φ + i sin φ)

Diese Darstellung wird häufig auch als Polarform (bzw. Eulersche Form) bezeichnet.
In dieser Darstellung wird deutlich, dass
φ der Polarkoordinatenwinkel der komplexen Zahl z in der komplexen Zahlenebene ist und
|z| der Abstand der komplexen Zahl zum Ursprung ist.

Komplexe Rechenoperationen

Für die beiden komplexen Zahlen
z₁ = a₁ + i b₁ = |z₁| e^iφ₁ und
z₂ = a₂ + i b₂ = |z₂| e^iφ₂
gilt:
z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + i (b₁ + b₂)
z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + i (b₁ - b₂)
z₁ · z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + i (a₁b₂ + a₂b₁) = |z₁|·|z₂| e^{i(φ₁+φ₂)}
z₁ / z₂ = ((a₁a₂ + b₁b₂) + i (a₂b₁ - a₁b₂) ) / (a₂² + b₂²) = |z₁|/|z₂| e^{i(φ₁-φ₂)}

Für das Potenzieren der komplexen Zahl z mit reellem Exponenten c gilt:
z^c = (|z| e^iφ)^c = |z|^c e^iφc

Für die Beträge von Produkt und Quotient gilt:
|z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|
|z₁ / z₂| = |z₁| / |z₂|

Elementare Funktionen mit komplexem Argument

Für z ∈ ℂ mit z = x + i y gelten folgende Beziehungen:
e^z = e^x (cos y + i sin y)
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
cos z = cos x cosh y - i sin x sinh y
sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y
cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
log z = ln|z| + i arg(z)
z^c = e^{c log(z)}, c ∈ ℂ