Les termes comportant des nombres complexes peuvent être calculés ici.
Les calculs possibles sont addition, soustraction, division, multiplication, exponentiation et radication.
De plus, certaines fonctions peuvent également être utilisées dans les termes.
Ces fonctions prennent également en charge les arguments de fonctions complexes.
Fonctions prises en charge: exp(z), cos(z), sin(z), cosh(z), sinh(z), log(z), abs(z), arg(z), conjg(z), real( z), imag(z) avec z ∈ ℂ
Littéraux pris en charge: i, e, PI
Représentation
Saisie
Résultat
Options de représentation pour les nombres complexes
Il existe essentiellement 3 représentations différentes:
Représentation arithmétique: z = a + i b
Ici, a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire de z.
Représentation exponentielle: z = |z| eiφ
Ici |z| le montant de z et φ est l'argument de z.
Ce qui suit s'applique:
|z|2 = a2 + b2
a = |z| cos φ
b = |z| sin φ
Il en résulte la troisième représentation possible:
Représentation trigonométrique: z = |z| (cos φ + i sin φ)
Cette représentation est souvent appelée forme polaire.
Dans cette représentation, il est clair que
φ est l'angle de coordonnée polaire du nombre complexe z dans le plan des nombres complexes et
|z| est la distance du nombre complexe à l'origine.
Opérations arithmétiques complexes
Pour les deux nombres complexes
z1 = a1 + i b1 = |z1| eiφ1 et
z2 = a2 + i b2 = |z2| eiφ2
s'applique:
z1 + z2 = (a1 + a2) + i (b1 + b2)
z1 - z2 = (a1 - a2) + i (b1 - b2)
z1 · z2 = (a1a2 - b1b2) + i (a1b2 + a2b1) = |z1|·|z2| ei(φ1+φ2)
z1 / z2 = ((a1a2 + b1b2) + i ( a2b1 - a1b2) ) / (a22 + b22) = |z1|/|z2| ei(φ1-φ2)
Ce qui suit s'applique à l'élévation du nombre complexe z à la puissance d'un exposant réel c:
zc = (|z| eiφ)c = |z|c eiφc
Ce qui suit s'applique aux quantités de produit et au quotient:
|z1 · z2| = |z1| · |z2|
|z1 / z2| = |z1| / |z2|
Fonctions élémentaires avec argument complexe
Pour z ∈ ℂ avec z = x + i y les relations suivantes s'appliquent:
ez = ex (cos y + i sin y)
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
cos z = cos x cosh y - i sin x sinh y
sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y
cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y
log z = ln|z| + i arg(z)
zc = ec log(z), c ∈ ℂ