Das Doppelintegral (bzw. Bereichsintegral oder Gebietsintegral) wird für einfach zusammenhängende Gebiete in der xy-Ebene bestimmt. Der Integrand ist eine Funktion f(x,y).
Definition des Integrationsgebiets
Ist das Integrationsgebiet durch einen Polygonzug berandet, so kann
dieses Gebiet über eine Liste von Punkten Pi(xi/yi) definiert werden.
Die Liste ist als geordnete Liste zu verstehen, derart, dass die Punkte dann in dieser Reihenfolge den Gebietsrand durchlaufen.
Die Randpunkte Pi(xi/yi) kann man als Tabelle editieren oder auch mit der Maus verschieben.
Die dritte Tabellenspalte wird für diese Punkte nicht benötigt.
Krummlinige Berandungen kann man einbeziehen, indem man Randkurven in Parameterform bereitstellt.
Der Kurvenparameter ist stets t.
Ist z.B. eine berandende Kurve als y=f(x) gegeben, kann man zuordnen x(t)=t und y(t)=f(t).
Ist hingegen eine berandende Kurve als x=f(y) gegeben, kann man zuordnen y(t)=t und x(t)=f(t).
Für den Kurvenparameter t werden in der 3. Spalte mit zwei Angaben Anfang und Ende des jeweiligen Randkurvensegments festgelegt.
Bei der Reihenfolge der beiden t-Werte ist darauf zu achten, dass alle Kurvensegmente für t1→t2 im gleichen Umlaufsinn durchlaufen werden.
D.h., entweder sollen alle Kurven das Integrationsgebiet im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn umlaufen.
Das gleiche gilt für die Reihenfolge der einzelnen Segmentbeschreibungen. Auch sie müssen in der angegebenen Reihenfolge dem gleichen Umlaufsinn entsprechen.
Sollten zwischen 2 aufeinander abfolgenden Kurvendefintionen eine Lücke sein, wird automatisch eine gerade Verbindung angenommen.
Beispiel:
Es soll im Bereich zwischen x=0 und x=π die Fläche zwischen den Kurven y=sin x und y=-1-x bestimmt werden.
Weil die das Gebiet berandende Kurve für alle ihre Teile gleichorient sein muss, muss man für eine der beiden gegebenen Teilkurven
steigende und für die andere fallende x-Werte vorsehen.
So können für die Kurve y=sin x die x-Grenzen 0,π sein.
Dann müssen die x-Grenzen für Kurve y=-1-x in umgekehrter Reihenfolge angegeben werden: π,0.
Weil beide Kurven als x-abhängige Funktionen gegeben sind, wählt man x=t als Parameter. Also insgesamt:
Kurve 1: x=t, y=sin(t), t1=0, t2=PI
Kurve 2: x=t, y=-1-t, t1=PI, t2=0
Die die beiden Teilkurven verbindenden senkrechten Strecken müssen nicht parametrisiert werden.
Für die Flächenberechnung muss der Integrand f(x,y)=1 verwendet werden.
Numerische Methoden
Zur Auswahl stehen 2 numerische Verfahren: Monte-Carlo- und Gauß-Quadratur.
Für die Gauß-Quadratur wird das Gebiet in kleine Dreiecksflächen zerlegt und darin f(x,y) in jeweils 3 Punkten ausgewertet.
Bei der Monte-Carlo-Quadratur wird "stratified sampling" genutzt, d.h., der Bereich wird in gleichgroße kleine Rechtecksflächen unterteilt, in denen f(x,y) in je einem zufällig gewählten Punkt ausgewertet wird.
Anwendungsbeispiele
Die anschaulichste Anwendung für das Doppelintegral ist die Berechung eines Volumens.
Gilt f(x,y)≥0 für den Integranden f(x,y) des Doppelintegrals im gesamten Integrationsgebiet,
dann liefert das Doppelintegral das Volumen des Körpers, der als "Säule" nach unten durch die xy-Ebene und
nach oben durch die Fläche z=f(x,y) begrenzt wird. Die seitliche Begrenzung ist durch die Randkurve des Gebiets gegeben.
Somit liefert ein Doppelintegral mit Integrand 1 das Volumen einer durch die Randkurve begrenzten Scheibe der Dicke 1 bzw. den Flächeninhalt des Integrationsgebiets.
Wenn man ein Doppelintegral mit Integrand x berechnet und durch den Flächeninhalt des Integrationsgebiets teilt, erhält man die x-Koordinate des Schwerpunkts des Integrationsgebiets.
Analytische Lösung
Um ein Doppelintegral analytisch zu lösen muss das Integrationsgebiet so geformt sein, dass entweder
a) die (horizontale) Begrenzung in x-Richtung durch 2 vertikale Geraden oder
b) die (vertikale) Begrenzung in y-Richtung durch 2 horizontale Geraden
gegeben ist.
Im Fall a) muss dann die Begrenzung in vertikaler Richtung durch 2 Funktionen h(x) und g(x) gegeben sein:
b g(x)
∫ ∫ f(x,y) dy dx
a h(x)
Nun wird das Integral von innen heraus bearbeitet, indem man x als Parameter fest hält und
f(x,y) bezüglich y integriert.
Setzt man dann im Sinne des bestimmten Integrals die y-Grenzen g(x) und h(x) ein,
erhält man eine nur noch von x abhängige Funktion, die man dann bezüglich x integrieren muss.
Im letzten Schritt werden dann noch die konstanten x-Grenzen berücksichtigt.
Im Fall b) muss dann die Begrenzung in horizontaler Richtung durch 2 Funktionen h(y) und g(y) gegeben sein:
d g(y)
∫ ∫ f(x,y) dx dy
c h(y)
Nun wird das Integral von innen heraus bearbeitet, indem man y als Parameter fest hält und
f(x,y) bezüglich x integriert.
Setzt man dann im Sinne des bestimmten Integrals die x-Grenzen g(y) und h(y) ein,
erhält man eine nur noch von y abhängige Funktion, die man dann bezüglich y integrieren muss.
Im letzten Schritt werden dann noch die konstanten y-Grenzen berücksichtigt.
Wichtig ist zu erkennen, dass man die veränderlichen Grenzen für die innere Integration verwendet.
Je nachdem, ob die innere Integration in x- oder y-Richtung erfolgt,
ist es notwendig die begrenzenden Funktionen entweder als y=y(x) oder als x=x(y) aufzulösen und zu verwenden.
Besonders einfach ist der Fall c) eines rechteckigen Integrationsgebietes, das durch vertikale und horizontale Geraden begrenzt wird:
d b
∫ ∫ f(x,y) dx dy
c a
In diesem Falle ist die Reihenfolge der Abarbeitung der Integrale von innen nach außen beliebig.
Wenn bei einem Doppelintegral mit ausschließlich festen Grenzen der Integrand ein Produkt der Form
f(x,y) = g(x)·h(y)
darstellt, vereinfacht sich die Berechnung:
d b b d
∫ ∫ g(x)·h(y) dx dy = ∫ g(x) dx·∫ h(y) dy
c a a c
Rechenbeispiel
Das Integrationsgebiet sei das Dreieck mit den 3 Ecken A(0/0), B(3/0), C(3/6).
Der Integrand sei die Funktion f(x,y) = x.
Die schräge Kante des Dreiecks verläuft entlang der Geraden y=2x.
Man erhält dann das Doppelintegral:
3 2x
∫ ∫ x dy dx
0 0
Hier erfolgt die innere Integration in y-Richtung. Das ergibt:
3 2x
∫ [ x·y ] dx
0 0
Einsetzen der Integrationsgrenzen des inneren Integrals für y:
3
∫ x·2x dx
0
Integrieren ergibt: 3
[2/3·x3] = 18 0
Wenn man die Integrationsreihenfolge umdrehen will, muss man die begrenzende Gerade y=2x
auflösen zu x=y/2. Das ergibt dann folgendes Doppelintegral:
6 3
∫ ∫ x dx dy
0 y/2
Jetzt erfolgt die innere Integration in x-Richtung. Das ergibt:
6 3
∫ [ x2/2 ] dy
0 y/2
Einsetzen der Integrationsgrenzen des inneren Integrals für x:
6
∫ 9/2 - y2/8 dy
0
Integrieren ergibt: 6
[9/2·y - y3/24] = 27 - 9 = 18 0
