Das Doppelintegral (bzw. Bereichsintegral oder Gebietsintegral) wird für einfach zusammenhängende Gebiete in der xy-Ebene bestimmt. Der Integrand ist eine Funktion f(x,y).
Definition des Integrationsgebiets
Ist das Integrationsgebiet durch einen Polygonzug berandet, so kann
dieses Gebiet über eine Liste von Punkten P(xi/yi) definiert werden.
Die Randpunkte P(xi/yi) kann man als Tabelle editieren oder auch mit der Maus verschieben.
Die dritte Tabellenspalte wird für diese Punkte nicht benötigt.
Krummlinige Berandungen kann man einbeziehen, indem man Randkurven in Parameterform bereitstellt.
Der Kurvenparameter ist stets t. Ist z.B. eine berandende Kurve als y=f(x) gegeben, kann man zuordnen x(t)=t und y(t)=f(t).
Für den Kurvenparameter t werden in der 3. Spalte mit zwei Angaben Anfang und Ende des jeweiligen Randkurvensegments festgelegt.
Bei der Reihenfolge der beiden t-Werte ist darauf zu achten, dass alle Kurvensegmente für t1→t2 im gleichen Umlaufsinn durchlaufen werden.
D.h., entweder sollen alle Kurven das Integrationsgebiet im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn umlaufen.
Das gleiche gilt für die einzelnen Segmentbeschreibungen. Auch sie müssen in der angegebenen Reihenfolge dem gleichen Umlaufsinn entsprechen.
Sollten zwischen 2 aufeinander abfolgenden Kurvendefintionen eine Lücke sein, wird automatisch eine gerade Verbindung angenommen.
Beispiel: Es soll im Bereich zwischen x=0 und x=π die Fläche zwischen den Kurven y=sin x und y=-1-x bestimmt werden.
Weil die das Gebiet berandende Kurve für alle ihre Teile gleichorient sein muss, muss man für eine der beiden gegebenen Teilkurven
steigende und für die andere fallende x-Werte vorsehen.
So können für die Kurve y=sin x die x-Grenzen 0,π sein.
Dann müssen die x-Grenzen für Kurve y=-1-x in umgekehrter Reihenfolge angegeben werden: π,0.
Also insgesamt:
Kurve 1: x=t, y=sin(t), t1=0, t2=PI
Kurve 2: x=t, y=-1-t, t1=PI, t2=0
Die die beiden Teilkurven verbindenden senkrechten Strecken müssen nicht parametrisiert werden.
Numerische Methoden
Zur Auswahl stehen 2 numerische Verfahren: Monte-Carlo- und Gauß-Quadratur.
Für die Gauß-Quadratur wird das Gebiet in kleine Dreiecksflächen zerlegt und darin f(x,y) in jeweils 3 Punkten ausgewertet.
Bei der Monte-Carlo-Quadratur wird "stratified sampling" genutzt, d.h., der Bereich wird in gleichgroße kleine Rechtecksflächen unterteilt, in denen f(x,y) in je einem zufällig gewählten Punkt ausgewertet wird.
Anwendungsbeispiele
Die anschaulichste Anwendung für das Doppelintegral ist die Berechung eines Volumens.
Gilt f(x,y)≥0 für den Integranden f(x,y) des Doppelintegrals im gesamten Integrationsgebiet,
dann liefert das Doppelintegral das Volumen des Körpers, der als "Säule" nach unten durch die xy-Ebene und
nach oben durch die Fläche z=f(x,y) begrenzt wird. Die seitliche Begrenzung ist durch die Randkurve des Gebiets gegeben.
Somit liefert ein Doppelintegral mit Integrand 1 das Volumen einer durch die Randkurve begrenzten Scheibe der Dicke 1 bzw. den Flächeninhalt des Integrationsgebiets.
Wenn man ein Doppelintegral mit Integrand x berechnet und durch den Flächeninhalt des Integrationsgebiets teilt, erhält man die x-Koordinate des Schwerpunkts des Integrationsgebiets.