La integral doble (o integral de área) se calcula para áreas simplemente conectadas en el plano xy. El integrando es una función f(x,y).
Definición del área de integración
Si el área de integración está bordeada por una polilínea, entonces
esta área se puede definir mediante una lista de puntos P(xi/yi).
Los puntos límite P(xi/yi) pueden editarse como una tabla o mover con el ratón.
La tercera columna de la tabla no es necesaria para estos puntos.
Los límites curvilíneos se pueden incluir aproximadamente proporcionando curvas de límite en forma de parámetro.
El parámetro de la curva siempre es t. Por ejemplo, si una curva límite se da como y=f(x), se puede asignar x(t)=t y y(t)=f(t).
Para el parámetro de curva t, el principio y el final del segmento de curva de borde respectivo se especifican en la tercera columna con dos entradas.
Con el orden de los dos valores t, se debe asegurar que cada segmento de curva para t1->t2 se recorre en el mismo dirección como todos los demás.
Esto significa que todas las curvas deben rodear el área de integración en sentido horario o antihorario.
Si hay un espacio entre 2 definiciones de curvas consecutivas, se asume automáticamente una conexión recta.
Métodos numéricos
Hay 2 métodos numéricos para elegir: Integración Monte Carlo y Integración gaussiana.
Para la Integración gaussiana, el área se divide en pequeñas áreas triangulares y f(x,y) se evalúa en 3 puntos cada una.
El "muestreo estratificado" se utiliza en la Integración Monte Carlo, es decir, el área se divide en pequeñas áreas rectangulares de igual tamaño, en las que f(x,y) se evalúa en un punto elegido al azar cada una.
Aplicación
La aplicación más obvia de la integral doble es el cálculo de un volumen.
Si f(x,y)≥0 para el integrando f(x,y) de la integral doble en todo la región de integración,
entonces la integral doble da el volumen del cuerpo columnar bordeado por el plano xy en la parte inferior y
por el área z=f(x,y) en la parte superior. El límite lateral viene dado por la curva límite del área.
Así, una integral doble con integrando 1 da el volumen de un disco de espesor 1 delimitado por la curva de arista o el área de la región de integración.
Si calcula una integral doble con integrando x y la divide por el área de la región de integración, obtiene la coordenada x del centroide de la región de integración.