L'intégrale double (ou intégrale de domaine) est déterminée pour des régions simplement connexes du plan xy. L'intégrande est une fonction f(x,y).
Définition de la région d'intégration
Si la région d'intégration est délimitée par un polygone,
alors cette région peut être définie par une liste de points Pi(xi/yi).
Cette liste est ordonnée, les points parcourant la frontière de la région dans cet ordre.
Les points frontières Pi(xi/yi) peuvent être modifiés sous forme de tableau ou déplacés à la souris.
La troisième colonne du tableau n'est pas nécessaire pour ces points.
Les frontières courbes peuvent être incluses en fournissant des courbes frontières sous forme paramétrique.
Le paramètre de courbe est toujours t.
Par exemple, si une courbe frontière est donnée par y = f(x), alors x(t) = t et y(t) = f(t) peuvent être affectés.
En revanche, si une courbe frontière est donnée par x = f(y), alors y(t) = t et x(t) = f(t) peuvent être affectés.
Pour le paramètre de courbe t, le début et la fin du segment de courbe frontière correspondant sont définis dans la troisième colonne avec deux entrées.
Lors de la détermination de l'ordre des deux valeurs de t, il est important de s'assurer que tous les segments de courbe sont parcourus dans la même direction pour t1→t2.
Autrement dit, toutes les courbes doivent parcourir le domaine d'intégration soit dans le sens horaire, soit dans le sens antihoraire.
Il en va de même pour l'ordre des descriptions des segments individuels. Eux aussi doivent suivre la même direction de parcours dans l'ordre spécifié.
S'il y a un intervalle entre deux définitions de courbes consécutives, une ligne droite est automatiquement supposée.
Exemple:
Il s'agit de déterminer l'aire délimitée par les courbes y = sin x et y = -1 - x dans l'intervalle [0, π].
Comme la courbe délimitant cette aire doit être uniformément orientée,
il faut spécifier des valeurs de x croissantes pour l'une des deux sous-courbes données et des valeurs de x décroissantes pour l'autre.
Ainsi, les bornes de l'axe des x de la courbe y = sin x sont 0 et π.
Les bornes de l'axe des x de la courbe y = -1 - x doivent alors être spécifiées dans l'ordre inverse : π et 0.
Comme les deux courbes sont données comme des fonctions dépendant de x, x = t est choisi comme paramètre. Donc, au total :
courbe 1: x=t, y=sin(t), t1=0, t2=PI
courbe 2: x=t, y=-1-t, t1=PI, t2=0
Il n'est pas nécessaire de paramétrer les sections verticales reliant les deux courbes partielles.
Pour calculer l'aire, il faut utiliser l'intégrande f(x,y)=1.
Méthodes numériques
Deux méthodes numériques sont disponibles : la méthode de Monte-Carlo et la quadrature de Gauss.
Pour la quadrature de Gauss, la région est divisée en petits triangles, et f(x,y) est évaluée en trois points à l'intérieur de chaque triangle.
Pour la quadrature de Monte-Carlo, un échantillonnage stratifié est utilisé ; autrement dit, la région est divisée en petits rectangles de taille égale, et f(x,y) est évaluée en un point choisi aléatoirement dans chaque rectangle.
Exemples d'applications
L'application la plus intuitive de l'intégrale double est le calcul d'un volume.
Si f(x,y)≥0 pour l'intégrande f(x,y) de l'intégrale double sur tout le domaine d'intégration,
alors l'intégrale double donne le volume du solide, limité inférieurement par le plan xy et
supérieurement par la surface z = f(x,y). La frontière latérale est donnée par la courbe frontière du domaine.
Ainsi, une intégrale double d'intégrande 1 donne le volume d'un disque d'épaisseur 1 limité par la courbe frontière, soit l'aire du domaine d'intégration.
Si l'on calcule une intégrale double d'intégrande x et qu'on la divise par l'aire du domaine d'intégration, on obtient l'abscisse du centre de gravité du domaine d'intégration.