Poisson-Gleichung mit Differenzenverfahren
Die partielle Differentialgleichung
∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = -f(x,y)
wird mittels des Differenzenverfahrens (Methode der finiten Differenzen) für ein rechteckiges Gebiet numerisch gelöst.
Für f(x,y) ≠ 0 handelt es sich um die Poisson-Gleichung.
Wenn man f(x,y) zu 0 setzt, wird daraus die Laplace-Gleichung.
Als Randbedingungen können knotenbezogen vorgegeben werden:
- Werte der Feldgröße u (Dirichlet-Randbedingung)
- die nach außen gerichtete Richtungsableitung ∂u/∂n der Feldgröße, normal zum Rand (Neumann-Randbedingung)
- die Werte α und β für die gemischte Randbedingung ∂u/∂n + α u = β (Robin-Randbedingung)
Erläuterung zu den Eingabedaten
Mit x1, y1 und x2, y2 werden 2 Ecken des rechteckigen Gebietes festgelegt, die sich diagonal gegenüberliegen.
Mit nx und ny bestimmt man, wieviele Knotenpunkte in x- bzw. y-Richtung verwendet werden sollen.
Bei den Randbedingungen kann man pro Zeile einzelnen oder auch mehreren Randknoten des Rechengitters entweder
den Wert der Feldgröße u oder
den der Richtungsableitung ∂u/∂n oder
α und β der Robin-Randbedingung zuweisen.
Für die Randknoten sind mögliche Eingaben sowohl einzelne Zahlen als auch Bereiche von Zahlen.
So wäre eine zulässige Eingabe
1 2 4-6 10
oder gleichwertig
1 2 4 5 6 10
Für alle Randknoten, für die keine Vorgaben gemacht werden, ist die Voreinstellung, dass die Richtungsableitung normal zum Rand 0 ist.
Das Gleichungssystem ist nur dann eindeutig lösbar, wenn für mindestens einen Knoten der Wert der Feldgröße u vorgegeben wird.
Erläuterung zur Darstellung
Die Randpunkte sind im Uhrzeigersinn aufsteigend durchnummeriert.
Bei den Randpunkten kann man an ihrer Farbe erkennen, welche Randbedingung gesetzt ist:
- blau - Vorgabe der Feldgröße u
- rot - Vorgabe der Richtungsableitung normal zum Rand ∂u/∂n
- magenta - Robin-Randbedingung (∂u/∂n + α u = β)
- gelb - keine Vorgabe bzw. Richtungsableitung normal zum Rand ∂u/∂n ist 0
Wenn die Knotenanzahl in x- und y-Richtung kleiner als 15 ist, werden die Lösungen der Dgl. neben den Knoten ausgegeben.
Andernfalls werden die Lösungen nicht ausgegeben.
Wenn man einen Knotenpunkt anklickt, erhält man aber die Lösung für diesen Knoten dargestellt.
Die räumliche Veränderung der Feldgröße u wird zusätzlich durch eine Heatmap-Darstellung veranschaulicht.
Die Grenzen zwischen den verschiedenen Farben sind dabei Isolinien bzw. Niveaulinien, entlang derer die Feldgröße u unveränderlich ist.
Anwendungsbeispiel Wärmeleitung
Die stationäre Wärmeleitung lässt sich mit Hilfe der Poisson-Gleichung beschreiben.
Sie nimmt dann folgende Gestalt an:
λ (∂²T/∂x² + ∂²T/∂y²) = -f(x,y).
λ ist der ortsunabhängige Wärmeleitkoeffizient (eine Materialeigenschaft)
T(x,y) ist die Temperatur in einem, hier 2-dimensionalen, Gebiet
f(x,y) ist die Wärmequelldichte im Gebietsinneren
Für Wärmeleitprobleme ohne Wärmequellen im Gebietsinneren erhält man dann die Laplace-Gleichung:
∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = 0.
Die Differenzensterne
Mit Hilfe der sogenannten Differenzensterne wird dargestellt, wie die Belegung für die Systemmatrix an den inneren Knoten des Gebiets zu erfolgen hat.
Die Unterteilung des Gebiets erfolgt hier mit bezüglich der x- bzw. y-Richtung jeweils in äquidistanten Abständen generierten Punkten.
Wenn man den horizontalen Punkteabstand mit b und den vertikalen Punkteabstand mit h bezeichnet, ergeben sich die folgenden Differenzensterne:
5-Punkte-Differenzenstern
| 1/h2 | |
| 1/b2 | -(2/b2+2/h2) | 1/b2 |
| 1/h2 | |
9-Punkte-Differenzenstern
| (1/b2+1/h2)/12 | (10/h2-2/b2)/12 | (1/b2+1/h2)/12 |
| (10/b2-2/h2)/12 | -20(1/b2+1/h2)/12 | (10/b2-2/h2)/12 |
| (1/b2+1/h2)/12 | (10/h2-2/b2)/12 | (1/b2+1/h2)/12 |
weitere JavaScript-Programme