Fachwerk berechnen mit FEM
Es wird die Methode der finiten Elemente (FEM) für Berechnungen an ebenen Fachwerken angewendet.
Anders als bei Starrkörperberechnungen können die Fachwerke hier auch statisch unbestimmt sein.
Berechnen lassen sich Stabkräfte, Lagerreaktionen und der Verschiebungszustand.
Der Benutzer kann seine eingegebenen Modelldaten lokal speichern.
Zu den Modelldaten
Ein zu untersuchendes Modell wird festgelegt durch:
- Sämtliche Gelenk-Punkte, an denen Fachwerkstäbe gelagert bzw. untereinander verbunden werden sollen.
Bei der Eingabe der Punkt-Koordinaten kann man auf die Koordinaten anderer Punkte über x1,y1,x2,y2 usw. zugreifen.
Ferner kann man die Knotenpunkte durch Klickziehen mit der Maus verschieben.
- Eine Liste der Stäbe des Fachwerkstabes. Für jeden Stab müssen seine 2 Endpunkte angegeben werden.
Ferner wird sein Materialindex benötigt (z.B. 1, wenn man nur ein Material verwendet).
Man kann Stäbe auch mit der Maus durch Klickziehen anlegen.
- Angaben zum Material. Das sind hier Querschnittsfläche A und E-Modul.
- Angaben zur Belastung. Hier kann die Belastung der jeweiligen Knoten angegeben werden.
- Angaben zur Lagerung. Hier kann punktbezogen sowohl in x- als auch in y-Richtung gefesselt werden.
Bei der Dateneingabe existieren keine Einheiten. Der Benutzer ist selber dafür verantwortlich Daten bezüglich verträglicher Einheiten bereitzustellen,
z.B.
Punkt-Koordinaten in m, Lasten in N, Querschnitte in m² und den E-Modul in N/m².
Verschiebungen entstehen dann in m, Stabkräfte in N und Normalspannungen in N/m².
oder
Punkt-Koordinaten in mm, Lasten in N, Querschnitte in mm² und den E-Modul in N/mm².
Verschiebungen entstehen dann in mm, Stabkräfte in N und Normalspannungen in N/mm².
Übrigens:
Wenn alle Stäbe gleichen Querschnitt und gleichen E-Modul haben und man an den Verschiebungen nicht interessiert ist, kann man für A und E einfach 1 eintragen.
A und E haben in dieser Situation keinen Einfluss auf die Berechnung der Stabkräfte.
Auch wenn das Fachwerk statisch bestimmt ist, haben A und E keinen Einfluss auf Stabkräfte und Lagerkräfte.
Zu den Ergebnissen
Bei den Ergebnissen wird der Verschiebungszustand des Fachwerks berechnet und das Fachwerk im verformten Zustand dargestellt.
Für ihre grafische Darstellung werden alle Verschiebungen einheitlich vergrößert, damit man sie überhaupt erkennen kann.
Die Fachwerkstäbe werden farblich gekennzeichnet als Zugstäbe (blau) bzw. Druckstäbe (rot) und Nullstäbe (weiss).
Wenn man in der Ergebnisdarstellung einen Stab anklickt, wird die zugehörige Normalkraft ausgegeben.
Wenn man in der Ergebnisdarstellung einen Knoten anklickt, werden die zugehörigen Verschiebungen ausgegeben.
Nullstäbe
Nullstäbe sind Stäbe im Fachwerk, die bei einer bestimmten Belastung des Fachwerks keine Kraft übertragen.
Bei "von Hand-"Berechnung der Stabkräfte vereinfacht sich die Berechnung, wenn man diese Nullstäbe entfernt.
Situationen mit Nullstäben sind:
a) Eine Fachwerksecke mit nur 2 Stäben und ohne weitere Krafteinleitung. Beide Stäbe sind dann Nullstäbe.
b) Ein Fachwerksknoten mit 3 Stäben, von denen 2 gleich ausgerichtet sind, ohne weitere Krafteinleitung. Der dritte Stab ist dann ein Nullstab.
c) Ein Fachwerksecke mit nur 2 Stäben und Krafteinleitung in Richtung des einen Stabes. Der andere Stab ist ein Nullstab.
Das Erkennen und Entfernung von Nullstäben kann man auch wiederholt anwenden, weil sich nach dem Entfernen von Nullstäben neue mögliche Nullstäbe ergeben können.
Beispiel:
Im abgebildeten Beispiel kann man mehrfach Nullstäbe identifizieren und entfernen.
Letztlich bleibt hier nur ein belasteter Stab, der die Last in den Boden leitet. Das linke Lager ist somit unbelastet.
Symmetrieausnutzung
Eine symmetrische Belastungssituation ist gegeben, wenn bezüglich einer Symmetrieachse
die Geometrie, die Materialeigenschaften, die Belastung und die Lagerung symmetrisch gegeben sind.
In diesem Falle langt es nur eine Hälfte des Fachwerks zu modellieren, weil dann Kräfte und Spannungen ebenfalls symmetrisch sind.
Für die Verschiebungen gilt dann:
Verschiebungen parallel zur Symmetrieachse sind symmetrisch zur Symmetrieachse.
Verschiebungen senkrecht zur Symmetrieachse sind betragsmäßig symmetrisch zur Symmetrieachse haben aber entgegen gesetzte Vorzeichen.
Um die Symmetrie auszunutzen geht man folgendermaßen vor:
Entlang der Symmetrieachse wird das Fachwerk aufgetrennt.
Gelenkknoten, die auf der Symmetrieachse liegen, müssen so gelagert werden, dass eine Verschiebung senkrecht zur Symmtrieachse verhindert ist.
Für Stäbe, die auf der Symmtrieachse liegen, muss der Querschnitt halbiert werden.
Lasten, die auf der Symmetrieachse angreifen, müssen halbiert werden.
Stäbe, deren Endknoten beidseits der Symmetrieachse liegen, werden halbiert und mit einem Lager in der Symmetrieachse versehen, das eine Verschiebung senkrecht zur Symmtrieachse verhindert.
Eigentlich müßte man im letztgenannten Falle auch eine Verdrehung des Stabes durch Lagerung in der Symmetrieachse verhindern.
Da Verdrehungen aber kein Freiheitsgrad bei Fachwerksstäben sind, ist diese Vorgabe nicht möglich.
Das hat dann zur Folge, dass der zusätzliche Knoten, der den Stab halbiert, unter Last nicht verschoben wird (Schönheitsfehler).
Für Kräfte und Verschiebungen hat das aber keine Auswirkung.
3D-Fachwerk
Dreidimensionale Fachwerke kann man hier untersuchen: 3D-Fachwerke
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