Mehrmassenschwinger
Es werden hier freie, ungedämpfte Schwingungen von Mehrmassenschwingern untersucht (numerische Modalanalyse).
Eigenfrequenzen und Eigenformen der Eigenschwingungen werden berechnet.
In einer Simulation werden die Eigenformen dargestellt.
Zum Aufbau von Modellen werden Massepunkte und massefreie Federn verwendet.
Starrkörper mit Masseträgheitsmoment kann man durch starre Verbindung von z.B. 2 Massepunkten erzeugen.
Zu den Modelldaten
Ein zu untersuchendes Modell wird festgelegt durch:
- Sämtliche Punkte, an denen Federn enden bzw. untereinander verbunden werden sollen.
Bei der Eingabe der Punkt-Koordinaten kann man auf die Koordinaten anderer Punkte über x1,y1,x2,y2 usw. zugreifen.
Bereits angelegte Punkte kann man auch mit der Maus durch Klickziehen verschieben
- Eine Liste der Federdaten. Für jede Feder müssen die Nummern ihrer 2 Endpunkte angegeben werden.
Ferner wird die Federsteifigkeit ki angegeben. Als weitere optionale Eingabe ist eine Vorlast N0 möglich.
Man kann eine neue Feder auch durch Klickziehen mit der Maus anlegen.
Federn mit Federsteifikeit größer als das 105-fache der kleinsten Federsteifigkeit werden als starre Verbindung angenommen.
- Eine Liste der Massen. An jedem verwendeten Federanschlusspunkt kann (aber muss nicht unbedingt) eine Masse sitzen.
Massen sind hier Massepunkte. Massenträgheitsmomente werden durch das starre Koppeln mehrerer Einzelmassen ermöglicht.
So kann man einen Starrkörper mit Massenträgheitsmoment J und Masse m durch 2 starr verbundene Massen m/2 im Abstand 2·(J/m)1/2 modellieren.
- Angaben zur Lagerung. Hier kann punktbezogen sowohl in x- als auch in y-Richtung gefesselt werden.
Als Einheiten bei der Dateneingabe sollte man am besten die folgenden verwenden: Massen in kg Steifigkeiten in N/m.
Dann entstehen die ausgegebenen Eigenfrequenzen fi in Hz.
Zu den Ergebnissen
Freie Schwingungen sind nur mit bestimmten Frequenzen, den so genannten Eigenfrequenzen möglich.
Welche Masse dabei wie stark in x- und y-Richtung schwingt, wird im zugehörigen Eigenvektor ersichtlich.
ui bzw. vi sind hier die Verschiebungen am i-ten Punkt in x- bzw. y-Richtung.
Die Anzahl möglicher Eigenschwingungsformen und Eigenfrequenzen ist gleich der Gesamtanzahl der Bewegungsfreiheitsgrade im System.
Jeder freie oder elastisch gefesselte Massepunkt hat im ℝ2 zunächst 2 Bewegungsfreiheitsgrade.
Das ergibt maximal 2·n Bewegungsfreiheitsgrade für ein System mit n Massepunkten.
Diese maximale Gesamtanzahl von Bewegungsfreiheitsgraden sinkt durch Lagerung und den Einsatz starrer Verbindungselemente.
So hat ein Zweimassenschwinger, wenn die Bewegungen entlang einer Achse geführt wird und beide Massen beweglich sind, 2 Eigenfrequenzen.
Sind die beiden Massen hingegen in beide Richtungen beweglich, gibt es 4 Eigenfrequenzen.
Sind die beiden Massen hingegen in beide Richtungen beweglich aber untereinander starr gekoppelt, gibt es 3 Eigenfrequenzen.
Sollte ein System Möglichkeiten der Bewegung haben, die keine Federkraft hervorrufen, gibt es Eigenformen mit Eigenfrequenz 0.
Das System kann sich dann entsprechend dieser Eigenform kräftefrei einstellen, schwingt dabei aber nicht.
Differentialgleichungssystem
Die hier modellierten Mehrmassenschwinger bestehen aus Punktmassen, die über Federn untereinander verbunden sind.
Für jeden frei beweglichen Knoten, an dem eine Masse hinterlegt ist, kann man die Summe aller Kräfte in 2 Raumrichtungen formulieren.
Einschließlich des Trägheitsterms ergeben sich Gleichungen der Art:
mixi•• + ∑ Fxj = 0
miyi•• + ∑ Fyj = 0
Die Kräfte Fxj und Fyj lassen sich mit Hilfe der Steifigkeitsmatrizen der angelenkten Federn und der
Verschiebungen des Knoten i und seiner Nachbarknoten berechnen.
Das ergibt dann ein Dgl-System der Form
M x•• + K x = 0.
Dabei ist M die nur digonal besetzte Massenmatrix.
K ist die Steifigkeitsmatrix und
x ist der Verschiebungsvektor aller x- und y-Verschiebungen.
Mit Hilfe des Ansatzes
x(t) = u eiωt
wird daraus ein lineares, homogenes Gleichungssystem
(- ω2 M + K) u = 0.
Die Eigenfrequenzen des Systems bestimmt man dann aus der Forderung
det (- ω2 M + K) = 0.
Die Eigenformen des Systems bestimmt man, indem man die Eigenfrequenzen in das lineare, homogene Gleichungssystem einsetzt und es dann löst.
Ist ein Knoten gelagert, kann man dessen Kräftebilanz aus dem Differentialgleichungsystem streichen.
Ist bei einem Knoten keine Masse hinterlegt, so muss er durch statische Kondensation aus dem Differentialgleichungssystem entfernt werden.
Schwingerketten
Schwingerketten sind die einfachste Art mehrere Massen elastisch zu koppeln.
Dabei muss man alle Massen entlang einer Geraden positionieren, Querbewegung durch Lagerung verhindern und 2 benachbarte Massen jeweils durch eine Feder verbinden.
Auch Torsionsschwingerketten man hier untersuchen, indem man eine Translationsschwingerkette erstellt und
die Massen mi mit den Massenträgheitsmomenten Ji (in kgm2) der Torsionsschwinger und
die Federsteifigkeiten ki mit den Torsionssteifigkeiten (in Nm/rad) der verbindenden Wellensegmente belegt.
Die Visualisierung ist dann zwar immer noch die einer Translationsschwingerkette, aber die Ergebnisse sind die für die Torsionsschwingerkette.
Vorlasteinfluss
Normalerweise kann eine an beiden Enden gelenkig angebundene Feder keine Querkräfte übertragen.
Sie hat demnach auch keine Quersteifigkeit.
Das ändert sich, wenn man den Einfluss von Vorlasten berücksichtigt.
Nach Theorie 2.Ordnung (Gleichgewicht am verformten System) gibt es dann eine Quersteifigkeit,
die proportional zur Vorlast und umgekehrt proportional zur Federlänge ist.
Diese Quersteifigkeit ist unabhängig von der Längssteifigkeit, existiert somit auch für eine dehnstarre Stange.
Man spricht daher auch von geometrischer Steifigkeit.
Erst bei Berücksichtigung dieses Effektes ist es möglich Pendelschwingungen und Schwingungen von Saiten zu modellieren.
Auf die Längssteifigkeit hat der Vorlasteffekt keinen Einfluss.
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