Für periodische Funktionen f(x) werden hier die Koeffizienten der Fourierreihe durch numerische Integration bestimmt.
Alternativ kann man die Technik der FFT anwenden. Dann muss die Anzahl der ausgewerteten Stellen (Abtastpunkte) der Funktion f(x) eine Potenz von 2 sein.
Die Auswertung der Funktion f(x) erfolgt dabei für das Intervall [0, L] oder alternativ für das Intervall [-L/2, L/2].
Unter Verzicht auf FFT kann man die Anzahl der Abtastpunkte frei wählen.
Diese Anzahl bestimmt, wieviele Koeffizienten der Reihe maximal bestimmt werden können und wie genau die numerische Integration ausfällt.
Verwendet man die Koeffizienten im Sinne einer Partialsumme der Fourierreihenentwicklung, erhält man eine Näherung für die gegebene Funktion f(x).
Durch die Angabe von kmax kann man festlegen, wieviele Koeffizienten der Reihe in der Grafik und Tabellenausgabe berücksichtigt werden sollen.
Graphisch dargestellt werden in einem Diagramm die gegebene Funktion f(x) (schwarz) sowie deren Approximation (gelb) durch die ersten Fourierreihenterme:
a0/2 + ∑ ak*cos(2π*k*x/L)+bk*sin(2π*k*x/L)
In einem zweiten Diagramm können optional die für die abgebrochene Reihe berücksichtigten Fourierreihenkoeffizienten ak, bk dargestellt werden.
Zu den Beispielen
Weil die Beispiele alle als Einzeilen-Funktionsdefinitionen konzipiert sind, müssen vielfach bestimmte Teilbereiche der x-Achse jeweils andere Definitionen erhalten.
Dazu wird hier die Heaviside-Funktion H(x) verwendet. Sie ist folgendermaßen definiert:
H(x) = 0 für x < 0 und
H(x) = 1 für ≥ 0
H(x) wird auch als Sprungfunktion bezeichnet. Sie ist unstetig bei x=0.
Mit Hilfe von H(x) kann man bestimmte Bereiche einer Funktion "ausblenden".
So ist zunächst
H(x-a) = 0 für x < a und
H(x-a) = 1 für x ≥ a
und
H(a-x) = 1 für x ≤ a und
H(a-x) = 0 für x > a
Für eine beliebige Funktion f(x) gilt dann:
f(x)*H(x-a) = 0 für x < a und
f(x)*H(x-a) = f(x) für x ≥ a
sowie
f(x)*H(a-x) = f(x) für x ≤ a und
f(x)*H(a-x) = 0 für x > a
und zweiseitig angewendet für a, b ∈ ℝ mit a < b:
f(x)*H(x-a)*H(b-x) = f(x) für a ≤ x ≤ b
f(x)*H(x-a)*H(b-x) = 0 sonst
Einfluss des gewählten Intervalls
Die Berechnung der Fourierkoeffzienten greift nur auf den gewählten Intervallbereich zu.
Wie sich die in der Funktionsdefinition f(x) angegebene Funktion außerhalb dieses Intervalls verhält ist irrelvant.
Normalerweise enscheidet man sich zuerst, ob man ein Intervall [-L,L] oder [0,2L] nutzen möchte.
Danach legt man die Funktion f(x) fest.
Wechselt man anschließend das Intervall, so wird sich meistens eine andere Fourierreihe ergeben.
In den Beispielen wurden alle Funktionsdefinitionen so gewählt, dass sie, unabhängig vom gewählten Intervall,
auf die gleiche Fourierreihe führen.
In der Regel wird man auf diese unnötige "Doppeldefinition" verzichten.