Para funciones periódicas f(x), los coeficientes de la serie de Fourier se determinan aquí por integración numérica.
Alternativamente, se puede utilizar la técnica FFT. Entonces el número de dígitos evaluados (puntos de muestreo) de la función f(x) debe ser una potencia de 2.
La función f(x) se evalúa para el intervalo [0, L] o alternativamente para el intervalo [-L/2, L/2].
Si no se utiliza FFT, el número de puntos de muestreo se puede seleccionar libremente.
Este número determina cuántos coeficientes de la serie máximo se pueden determinar y qué tan precisa es la integración numérica.
Usando los coeficientes en el sentido de una suma parcial del desarrollo de la serie de Fourier, se obtiene una aproximación para la función dada f(x).
Al especificar kmax, puede determinar cuántos coeficientes de la serie deben incluirse en el resultado del gráfico y la tabla.
La función dada f(x) (negro) y su aproximación (amarillo) por una suma parcial de la serie de Fourier
a0/2 + ∑ ak*cos(2π*k*x/L)+bk*sin(2π*k*x/L)
se muestran gráficamente en un diagrama.
En un segundo diagrama se pueden mostrar opcionalmente los coeficientes de la serie de Fourier ak, bk tenidos en cuenta para la serie terminada.
A los ejemplos
Debido a que todos los ejemplos están diseñados como definiciones de funciones de una sola línea, a menudo es necesario dar definiciones diferentes a ciertas partes del eje x.
La función Heaviside H(x) se usa aquí para este propósito. Se define de la siguiente manera:
H(x) = 0 para x < 0 y
H(x) = 1 para x ≥ 0
H(x) también se conoce como función escalonada. Es discontinua en x=0.
Con H(x) ciertas áreas de una función se pueden "ocultar".
Así es al principio
H(x-a) = 0 para x < a y
H(x-a) = 1 para x ≥ a
y
H(a-x) = 1 para x ≤ a y
H(a-x) = 0 para x > a
Para cualquier función f(x), se aplica lo siguiente:
f(x)*H(x-a) = 0 para x < a y
f(x)*H(x-a) = f(x) para x ≥ a
así como
f(x)*H(a-x) = f(x) para x ≤ a y
f(x)*H(a-x) = 0 para x > a
y aplicado bilateralmente para a, b ∈ ℝ con a < b:
f(x)*H(x-a)*H(b-x) = f(x) para a ≤ x ≤ b
f(x)*H(x-a)*H(b-x) = 0 para x < a o x > b
Influencia del intervalo seleccionado
El cálculo de los coeficientes de Fourier sólo accede al intervalo seleccionado.
Cómo se comporta la función especificada en la definición de función f(x) fuera de este intervalo es irrelevante.
Normalmente, primero decide si desea utilizar el intervalo [-L,L] o el intervalo [0,2L].
Luego defines la función f(x).
Si luego cambia el intervalo, normalmente se obtendrá una serie de Fourier diferente.
En los ejemplos, todas las definiciones de funciones se eligieron de modo que condujeran a la misma serie de Fourier,
independientemente del intervalo seleccionado.
Normalmente, esta “doble definición” esta innecesaria.