Pour les fonctions périodiques f(x), les coefficients des séries de Fourier sont déterminés ici par intégration numérique.
On peut également utiliser la technique de la FFT. Le nombre de décimales évaluées (points d'échantillonnage) de la fonction f(x) doit alors être une puissance de 2.
L'évaluation de la fonction f(x) est effectuée sur l'intervalle [0, L] ou, alternativement, sur l'intervalle [-L/2, L/2].
Sans utiliser la FFT, le nombre de points d'échantillonnage est libre.
Ce nombre détermine le nombre maximal de coefficients de la série pouvant être calculés et la précision de l'intégration numérique.
Si les coefficients sont utilisés comme somme partielle du développement en série de Fourier, on obtient une approximation de la fonction f(x) donnée.
En spécifiant kmax, on peut déterminer le nombre de coefficients de la série à inclure dans le graphique et le tableau de résultats.
Graphiquement, la fonction f(x) donnée (en noir) et son approximation (en jaune) par les premiers termes de la série de Fourier :
a0/2 + ∑ ak·cos(k·x·2π/L)+bk·sin(k·x·2π/L)
Un deuxième diagramme peut éventuellement afficher les coefficients de la série de Fourier ak, bk considérés pour la série tronquée.
Calcul des coefficients de Fourier
Les équations suivantes s'appliquent aux coefficients de Fourier :
L
ak = ∫ cos(k·x·2π/L) · f(x) dx · 2/L 0 L
bk = ∫ sin(k·x·2π/L) · f(x) dx · 2/L 0
Voir les exemples
Comme tous les exemples sont conçus comme des définitions de fonctions sur une seule ligne, certaines sous-plages de l'axe des abscisses nécessitent souvent des définitions différentes.
À cette fin, la fonction Heaviside H(x) est utilisée. Elle est définie comme suit :
H(x) = 0 für x < 0 und
H(x) = 1 für x ≥ 0
La fonction H(x) est également appelée fonction en escalier. Elle est discontinue en x=0.
En utilisant H(x), vous pouvez « masquer » certaines parties d'une fonction.
Premièrement,
H(x-a) = 0 für x < a et
H(x-a) = 1 für x ≥ a
et
H(a-x) = 1 für x ≤ a et
H(a-x) = 0 für x > a
Pour toute fonction f(x), ce qui suit s'applique alors :
f(x)*H(x-a) = 0 für x < a et
f(x)*H(x-a) = f(x) für x ≥ a
ainsi que
f(x)*H(a-x) = f(x) für x ≤ a et
f(x)*H(a-x) = 0 für x > a
et appliqué aux deux côtés pour a, b ∈ ℝ avec a < b:
f(x)*H(x-a)*H(b-x) = f(x) für a ≤ x ≤ b
f(x)*H(x-a)*H(b-x) = 0 sinon
Influence de l'intervalle choisi
Le calcul des coefficients de Fourier ne prend en compte que l'intervalle choisi.
Le comportement de la fonction f(x) en dehors de cet intervalle est sans importance.
Généralement, on choisit d'abord l'intervalle [-L,L] ou [0,2L].
On définit ensuite la fonction f(x).
Si l'intervalle est modifié par la suite, la série de Fourier obtenue sera généralement différente.
Dans les exemples, toutes les définitions de fonction ont été choisies de manière à ce que, quel que soit l'intervalle choisi,
elles conduisent à la même série de Fourier.
En règle générale, cette "double définition" inutile est omise.
Influence de la variable indépendante
Par défaut, la variable indépendante x est utilisée.
Cependant, d'autres noms peuvent être utilisés pour la variable indépendante.
Si la variable t (pour le temps en secondes) est utilisée,
alors l'abscisse de ak et bk dans le diagramme sera formatée avec Hz.
Données provenant d'un fichier externe
Encore en phase de test et donc quelque peu masquée, l'option d'importer des fichiers externes est disponible.
Ces fichiers doivent contenir les données à analyser, ligne par ligne, sur deux colonnes.
La première colonne contient les valeurs xi équidistantes.
La seconde colonne contient les valeurs de la fonction correspondante f(xi).
Pour obtenir le format de saisie des noms de fichiers, saisissez un point à l'endroit où
une description de la fonction est généralement attendue.