Systèmes de forces planes
 

Vecteurs et leurs propriétés

En mathématiques, un vecteur est une grandeur orientée représentée par une flèche.
Un vecteur est donc adapté à la représentation de grandeurs physiques orientées, telles que les forces.
Un vecteur possède trois propriétés : Pour les vecteurs géométriques, la norme correspond à leur longueur.
Dans un espace bidimensionnel, la direction est l'angle entre la droite d'alignement du vecteur et le côté positif de l'axe des abscisses.
L'orientation détermine de quel côté de la flèche se situe l'extrémité (point d'origine) et où se situe l'autre extrémité (point de départ).

Dans un espace bidimensionnel, un vecteur peut être représenté par ses deux coordonnées.
Les deux coordonnées d'un vecteur peuvent être lues dans le système de coordonnées comme étant les coordonnées de la pointe de la flèche si le point de départ est placé à l'origine.
L'addition de vecteurs est relativement simple graphiquement.
Les vecteurs individuels sont simplement concaténés (dans n'importe quel ordre).
Le vecteur résultant est alors le vecteur reliant le début à la fin de la chaîne vectorielle.
En mécanique, on appelle cela la résultante des forces.

Système de forces concourantes planaires

Un système de forces concourantes planares existe lorsque les forces considérées agissent en un point d'application commun.
Pour les corps rigides, chaque force peut être déplacée le long de sa ligne d'action sans que son effet sur le corps rigide ne soit modifié.
Un système de forces central existe également si les lignes d'action de toutes les forces considérées se croisent en un point unique.
La résultante d'un système de forces central peut être obtenue par addition vectorielle des forces considérées.
La ligne d'action de la résultante passe par le point d'application commun du groupe de forces.
La résultante ainsi obtenue est alors équivalente au système de forces initial. Elle peut donc être utilisée à la place de ce dernier.

Graphiquement, la résultante est le vecteur reliant le début et la fin du polygone des forces.

Analytiquement, la résultante peut être calculée à partir des coordonnées des forces en jeu.
FRx = F1x + F2x + ... + Fnx
FRy = F1y + F2y + ... + Fny

Système de forces coplanaires quelconques

Même dans un système de forces coplanaires quelconques, la force résultante peut être générée par l'addition vectorielle des forces.
Toutefois, la ligne d'action de cette force résultante doit encore être déterminée en exigeant l'équivalence des moments du groupe de forces d'une part,
et de la force résultante d'autre part, par rapport à un point de référence arbitraire (par exemple, l'origine).

Le moment d'une force de coordonnées Fx et Fy et de point d'application A(x/y)
par rapport au point B(xB/yB) est calculé comme suit :
M(B) = Fy· (x - xB) - Fx · (y - yB).
Le moment de cette même force de coordonnées Fx et Fy et de point d'application A(x/y)
par rapport à l'origine est alors calculé comme suit :
M(0) = Fy · x - Fx · y.
Il convient de noter que le signe des moments dépend de leur direction d'action. Ils sont négatifs s'ils agissent dans le sens horaire dans le plan du schéma.
Le signe correct s'obtient en utilisant les coordonnées de la force et de son point d'application dans la formule, en tenant compte de leurs signes.

Les moments de toutes les forces d'un même groupe peuvent ensuite être additionnés (en tenant compte de leurs signes) pour obtenir le moment total.

Si la norme de la résultante d'un système de forces général n'est pas nulle, ce système peut toujours être remplacé par une force unique.
Il est toutefois nécessaire de déterminer la ligne d'action.

Si l'abscisse de la résultante n'est pas égale à 0, on peut déterminer le point yR où la ligne d'action de la résultante coupe l'axe des y :
FRx · yR = ∑ Mi(0)
Si la coordonnée y de la résultante n'est pas égale à 0, on peut déterminer le point xR où la ligne d'action de la résultante coupe l'axe des x :
FRy · xR = ∑ Mi(0)

Si la force résultante est nulle, deux possibilités existent :
- soit le système de forces correspond à un couple de forces (moment) ;
- soit le système de forces est libre de forces et de moments (état d’équilibre).

Diagramme des forces dans le système de forces concourantes planaires

L'équilibre dans un système de forces concourantes planaires est atteint précisément lorsque le polygone formé par l'ensemble des vecteurs de forces est fermé.
Le diagramme des forces est constitué de la chaîne vectorielle de tous les vecteurs de forces en jeu.
Il s'agit :
- des vecteurs de charge appliqués
- des forces de réaction telles que le polygone des forces soit fermé.

Le diagramme des forces peut ainsi être utilisé pour déterminer les forces de réaction nécessaires à l'équilibre.

Dans le cas d'un système de forces planes quelconque, une condition supplémentaire est nécessaire pour étudier l'équilibre :
La somme de tous les moments doit être nulle.