Numerisches Integrieren

Es wird hier das bestimmte Integral für die Funktion f(x) im Bereich x1≤x≤x2 näherungsweise berechnet.
Parallel können verschiedene numerische Methoden verwendet werden: Trapez-, Simpson- und 3/8-Regel sowie Gauß-Verfahren.
Voraussetzung ist, dass der angegebene Funktionsverlauf im Bereich x1<x<x2 keine Polstellen hat.

Die Schrittweite der numerischen Integration ist h. Das Intervall [x1,x2] wird für die Integration in gleichlange Bereiche ungefähr dieser Größe h unterteilt.

TrapezregelMittelpunktsregel
SimpsonregelGauss (2 Punkte)
3/8-RegelGauss (3 Punkte)
f(x)
x1 x2 h
Beispiele




Anmerkungen zur Schrittweite der Integration

Für die Simpsonregel wird eine ungerade Anzahl von Stützstellen benötigt. Die angegebene Schrittweite wird deshalb ggf. geringfügig verkleinert.
Für die 3/8-Regel muss die Anzahl von Stützstellen abzüglich 1 durch 3 teilbar sein. Die angegebene Schrittweite wird deshalb ggf. geringfügig verkleinert.
Zu beachten ist ferner, dass die Gauß-Integration im Unterschied zu den anderen Methoden pro Rechenschritt 2 bzw. 3 Funktionsauswertungen benötigt.

Vorgehen bei uneigentlichen Integralen

Integrale mit Polstellen am Bereichsrand (uneigentliche Integrale 2. Art) kann man, wenn sie konvergieren, mit den Gauss-Verfahren berechnen.
Uneigentliche Integrale 1. Art (eine Integrationsgrenze ist ∞ oder -∞) kann man mit Hilfe einer geeigneten Substitution in uneigentliche Integrale 2. Art überführen.
So führt die Integration von 1/(1+x)^2 in den Grenzen von 1 bis ∞ vermittels der Substitution von z=1/(1+x)^2 auf x=z^(-0.5)-1 und damit auf dx/dz=-0.5*z^(-1.5).
Damit geht das ursprüngliche Integral über in eines mit Integrand 0.5*z^(-0.5) in den z-Grenzen von 0 bis 0.25.

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