Numerisches Integrieren

Es wird hier das bestimmte Integral für eine Funktion f(x) im Bereich x1≤x≤x2 numerisch berechnet.
Parallel können verschiedene numerische Methoden verwendet werden: Trapez-, Simpson- und 3/8-Regel sowie Gauß-Verfahren.
Voraussetzung ist, dass der angegebene Funktionsverlauf im Bereich x1<x<x2 definiert ist und keine Polstellen hat.

Die Schrittweite der numerischen Integration ist h. Das Intervall [x1,x2] wird für die Integration in gleichlange Bereiche ungefähr dieser Größe h unterteilt.

SehnentrapezregelMittelpunktsregel
SimpsonregelGauss (2 Punkte)
3/8-RegelGauss (3 Punkte)
f(x)
x1 x2 h
Beispiele




Anmerkungen zur Schrittweite der Integration

Für die Simpsonregel wird eine ungerade Anzahl von Stützstellen benötigt. Die angegebene Schrittweite wird deshalb ggf. geringfügig verkleinert.
Für die 3/8-Regel muss die Anzahl von Stützstellen abzüglich 1 durch 3 teilbar sein. Die angegebene Schrittweite wird deshalb ggf. geringfügig verkleinert.
Zu beachten ist ferner, dass die Gauß-Integration pro Intervall 2 bzw. 3 Funktionsauswertungen benötigt.
Die Mittelpunktsregel benötigt pro Intervall eine Funktionsauswertung und
die anderen Methoden benötigen je eine Funktionsauswertung an den Intervallgrenzen.

Erläuterung zur grafischen Darstellung

Das bestimmte Integral für eine Funktion f(x) liefert die gewichtete Summe der Flächenanteile, die die Funktion f(x) im Bereich [a,b] mit der x-Achse einschließt.
Dabei werden Flächenanteile, die unterhalb der x-Achse liegen, mit negativem Vorzeichen, d.h. mit -1 gewichtet, in die Summe eingebracht.
Die grafische Darstellung macht zwischen den positiven und negativen Summanden der Berechnung keinen Unterschied.

Fläche zwischen 2 Kurven

Manchmal soll der Flächeninhalt einer Fläche bestimmt werden, die von 2 Kurven für ein Intervall [a,b] der x-Achse eingeschlossen wird.
Sind die Kurven als Funktionen f(x) und g(x) gegeben, dann liefert das bestimmte Integral von |f(x)-g(x)| den eingeschlossenen Flächeninhalt.
Das gilt auch dann, wenn sich die beiden Kurven im Intervall [a,b] schneiden.
Die Fläche zwischen der Kurve von f(x) und der x-Achse g(x)=0 ist demnach berechenbar über das bestimmte Integral von |f(x)|.


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