Ici, l'intégrale définie d'une fonction f(x) sur l'intervalle x1≤x≤x2 est calculée numériquement.
Différentes méthodes numériques peuvent être utilisées simultanément : la méthode des trapèzes, la méthode de Simpson, la quadrature de Gauss et l'intégration de Fejér.
La fonction donnée doit être définie sur l'intervalle x1<x<x2 et ne pas posséder de pôles.
Le pas d'intégration numérique est h. L'intervalle [x1, x2] est divisé en sous-intervalles égaux de taille h approximativement égale.
Pas et points d'appui de l'intégration numérique
La méthode de Simpson requiert un nombre impair de points d'appui. Le pas spécifié peut donc être légèrement réduit.
Il convient également de noter que l'intégration de Gauss nécessite 2 ou 3 évaluations de la fonction par intervalle.
La méthode du point milieu requiert une évaluation de la fonction par intervalle, et
les autres méthodes requièrent chacune une évaluation de la fonction aux limites de l'intervalle.
La méthode du point milieu et les méthodes de Gauss ne requièrent pas d'évaluation aux limites du domaine.
Ceci est avantageux si l'intégrande présente une discontinuité éliminable à la limite du domaine, comme x*ln(x) en x = 0.
Même les intégrales impropres convergentes, avec une limite à laquelle la fonction n'a pas de limite finie, comme l'intégrale de ln(x) de 0 à 1, ne posent pas de problème pour ces méthodes.
Explication de la représentation graphique
L'intégrale définie d'une fonction f(x) donne la somme pondérée des aires délimitées par la fonction f(x) dans l'intervalle [a, b] et l'axe des abscisses.
Les aires situées en dessous de l'axe des abscisses sont incluses dans la somme avec un signe négatif, c'est-à-dire qu'elles sont pondérées par -1.
L'intégrale définie donne alors la différence entre la somme des aires situées au-dessus de l'axe des abscisses et celle des aires situées en dessous de l'axe des abscisses.
La représentation graphique ne fait pas de distinction entre les termes positifs et négatifs du calcul.
Aire délimitée par deux courbes
Il est parfois nécessaire de déterminer l'aire délimitée par deux courbes sur un intervalle [a, b] de l'axe des abscisses.
Si les courbes sont définies par les fonctions f(x) et g(x), l'intégrale définie de |f(x) - g(x)| donne l'aire délimitée.
Ceci est également valable si les deux courbes se coupent sur l'intervalle [a, b]. Par conséquent, l'aire comprise entre la courbe de f(x) et l'axe des abscisses d'où g(x) = 0 peut être calculée à l'aide de l'intégrale définie de |f(x)|.