Hier werden lineare Integralgleichungen mit folgendem Aufbau numerisch gelöst:
β
∫ K(x,s)·y(s) ds = f(x)
a
Ist die obere Grenze veränderlich (β=x), hat man eine Volterra-Integralgleichung, andernfalls eine Fredholm-Integralgleichung.
Zu den Lösungen
Bei der Fredholmschen Integralgleichung 1. Art handelt es sich um ein schlecht gestelltes Problem.
Die zugehörigen Matrizen sind schlecht konditioniert bzw. sogar singulär.
Lösungen, wenn sie überhaupt existieren, sind damit nicht unbedingt eindeutig.
Dies gilt insbesondere bei ausgeartetem Kern K(x,s).
Beispiel:
Die Integralgleichung
1
∫ ex-s·y(s) ds = ex
0
hat mindestens die beiden linear unabhängigen Lösungen
y1(x) = ex
und
y2(x) = e-x·2/(1-e-2)
Damit sind natürlich auch Lösungen möglich, die sich durch Linarkombinieren ergeben:
y(x) = α·y1(x) + β·y2(x)
mit
α + β = 1 α,β∈ℝ
Welche Lösung mit den Programmen hier gefunden wird, kann man jedoch nicht steuern.