Für eine Liste von Punkten Pi(xi/yi) wird ein Polynom bestimmt, das durch diese Punkte festgelegt ist.
n+1 Punkte mit jeweils unterschiedlichen x-Koordinaten bestimmen eindeutig ein Interpolationspolynom vom Grade n.
Man muss also zunächst die Anzahl der Stützpunkte festlegen. Des Weiteren kann man den gewünschten Polynomgrad angeben.
Wird kein Polynomgrad angeben, wird entsprechend der Punkteanzahl ein Polynom durch Interpolieren bestimmt.
Ist der vorgegebene Polynomgrad bei n Punkten kleiner als n-1, wird durch Approximation ein Ausgleichspolynom im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt.
Anders als beim Interpolieren müssen nun nicht alle Punkte verschiedene x-Koordinaten haben. Es langt, wenn bei Polynomgrad g mindestens g+1 Punkte verschiedene x-Koordinaten haben.
Lineare Interpolation ist als Sonderfall möglich, indem man über 2 Punktepaare die Interpolationsgrade festlegt.
Aus der Grafik kann man dann Interpolationswerte im Intervall [x1, x2] ablesen.
Die Punkte (xi, yi) kann man über die Tabelle oder durch Klickziehen mit der Maus manipulieren.
Interpolation
Zur Bestimmung der Koeffizienten eines Polynoms n-ten Grades der Form
anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0
werden n+1 Gleichungen benötigt.
Für ein System von n Punkten Pi(xi/yi) kann man n Gleichungen erstellen:
Sind die x-Koordinaten aller n Punkte alle unterschiedlich, ist die Matrix X regulär und das Gleichungssystem lässt sich eindeutig lösen.
Der Lösungsvektor a enhält dann die Koeffizienten des Interpolationspolynoms vom Grade n-1.
Beispiel:
Gegeben sind die drei Punkte P1(-1/3), P2(0/1) und P3(1/3).
Hat man mehr Punkte zur Verfügung als man für die Interpolation eines Polynoms benötigt,
kann man beim Aufstellen der Gleichungen formal analog vorgehen.
Die Matrix X ist dann jedoch nicht mehr quadratisch. Sie hat mehr Zeilen als Spalten.
Das Gleichungssystem ist überbestimmt.
Zur Bestimmung der Lösung multipliziert man beide Seiten des Gleichungssystems von links mit XT. Das ergibt:
XTXa = XTy.
Die so entstandene Koeffizientenmatrix XTX ist nun symmetrisch und regulär, wenn die verwendeten Punkte soviele unterschiedliche x-Koordinarten haben,
wie unbekannte Polynom-Koeffizíenten in a zu bestimmen sind.
Die Lösung des Gleichungssystems liefert dann Koeffizienten eines Polynoms, das dem Punkteverlauf näherungsweise folgt.
Beispiel:
Gegeben sind die drei Punkte P1(0/0), P2(1/1) und P3(2/4).
Gesucht ist eine Gerade, die näherungsweise hiermit bestimmt ist.
Das liefert zunächst die folgenden 3 Gleichungen:
0·a1 + 1·a0 = 0
1·a1 + 1·a0 = 1
2·a1 + 1·a0 = 4
Das Gleichungssystem ist dann:
5·a1 + 3·a0 = 9
3·a1 + 3·a0 = 5
mit der Lösung:
a1 = 2, a0 = -1/3
Das Approximationspolynom ist somit:
2·x - 1/3.
Anmerkung:
Polynome höheren Grades führen bei der Interpolation oft zu einem sehr unruhigen Verlauf und sind daher zum geglätteten Darstellen von Kurvenverläufen, die durch viele Punkte gehen sollen, nicht geeignet.
Im Falle vieler Stützunkte kann daher entweder den Grad des Polynoms verringern, bei unveränderter Punktzahl. Dann gewinnt man Kurvenverläufe, die im Sinne der Ausgleichsrechnung die Punkte im Mittel approximieren.
Das ist hier möglich, indem man neben der Punktezahl auch den zu verwendenden Polynomgrad angibt.
Oder man verwendet sogenannte kubische Splines. Das sind Polynome 3. Grades, die jeweils zwischen 2 benachbarten Punkten eingesetzt werden.