Interpolation et Approximation par Polynômes
Pour une liste de points Pi(xi/yi), on détermine un polynôme défini par ces points.
n+1 points, chacun ayant une abscisse différente, définissent de manière unique un polynôme d'interpolation de degré n.
Il faut donc d'abord définir le nombre de points d'appui. On peut ensuite spécifier le degré du polynôme souhaité.
Si aucun degré de polynôme n'est spécifié, un polynôme est déterminé par interpolation en fonction du nombre de points.
Si le degré du polynôme donné est inférieur à n-1 pour n points, un polynôme de régression est déterminé par approximation selon la méthode des moindres carrés.
Contrairement à l'interpolation, il n'est pas nécessaire que tous les points aient des abscisses différentes. Il suffit, pour un polynôme de degré g, qu'au moins g+1 points aient des abscisses différentes.
L'interpolation linéaire est possible comme cas particulier en définissant les valeurs d'interpolation à l'aide de deux points.
Les valeurs d'interpolation dans l'intervalle [x1, x2] peuvent alors être lues sur le graphique.
Les points (xi, yi) peuvent être manipulés via le tableau ou en cliquant et en faisant glisser avec la souris.
Interpolation
Déterminer les coefficients d'un polynôme de degré n de la forme
anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0
n+1 équations sont nécessaires.
Pour un système de n points Pi(xi/yi), on peut créer n équations :
an-1x1n-1 + ... + a2x12 + a1x1 + a0 = y1
an-1x2n-1 + ... + a2x22 + a1x2 + a0 = y2
...
an-1xnn-1 + ... + a2xn2 + a1xn + a0 = yn
ou en notation matricielle :
X a = y
La matrice n×n X contient les abscisses des différents points, exprimées en puissances de 0 à n-1.
Le vecteur a contient les coefficients recherchés ai.
Si les abscisses des n points sont toutes distinctes, la matrice X est régulière et le système d'équations admet une solution unique.
Le vecteur solution a contient alors les coefficients du polynôme d'interpolation de degré n-1.
Exemple:
On donne les trois points P1(-1/3), P2(0/1) et P3(1/3).
Le système d'équations est alors :
1·a2 - 1·a1 + 1·a0 = 3
0·a2 + 0·a1 + 1·a0 = 1
1·a2 + 1·a1 + 1·a0 = 3
avec la solution :
a2 = 2, a1 = 0, a0 = 1
Le polynôme d'interpolation est donc :
2·x2 + 1
Approximation
Si vous disposez de plus de points que nécessaire pour l'interpolation d'un polynôme,
vous pouvez procéder de manière formelle et analogue pour établir les équations.
Cependant, la matrice X n'est alors plus carrée. Elle possède plus de lignes que de colonnes.
Le système d'équations est surdéterminé.
Pour déterminer la solution, multipliez les deux membres du système d'équations, en partant de la gauche, par XT. On obtient alors :
XTX a = XTy.
La matrice des coefficients résultante XTX est désormais symétrique et régulière si les points utilisés
présentent au moins autant de types différents d'abscisses que de coefficients polynomiaux inconnus à déterminer dans a.
La solution du système d'équations fournit alors les coefficients d'un polynôme qui suit approximativement la trajectoire des points.
Exemple:
On donne les trois points P1(0/0), P2(1/1) und P3(2/4).
Nous recherchons une ligne droite qui peut être approximativement déterminée à l'aide de cette méthode.
Cela donne initialement les 3 équations suivantes :
0·a1 + 1·a0 = 0
1·a1 + 1·a0 = 1
2·a1 + 1·a0 = 4
Le système d'équations est alors :
5·a1 + 3·a0 = 9
3·a1 + 3·a0 = 5
avec la solution :
a1 = 2, a0 = -1/3
Le polynôme d'approximation est donc :
2·x - 1/3.
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