Matrizen Eigenwerte Rechner

Mit Hilfe des zyklischen Jacobi-Verfahrens wird das Eigenwertproblem

A x = λ x

für symmetrische Matrizen A gelöst, d.h., es werden die Eigenwerte λ_i und zugehörigen Eigenvektoren x_i der Matrix A bestimmt.

Bei der Eingabe der Matrizen müssen Elemente der Matrix, die 0 sind, nicht eingetragen werden.
Zwischen den einzelnen Eingabezellen kann man mit TAB und den Cursor-Tasten wechseln.
Wird die Dimension der Matrix geändert, werden bereits eingegebene Zahlen übernommen.

Bei den Ergebnisen sind die Eigenwerte aufsteigend nach ihrer Größe sortiert.
Jeweils unter einem Eigenwert steht der zugehörige Eigenvektor.
Die Eigenvektoren sind mittels euklidischer Norm normiert.

Anzahl der Zeilen

Beispiele

Gleichungen für die Berechnung

Die Berechung erfolgt in 2 Schritten:

Die Eigenwerte λ_i bestimmt man als Lösungen der Gleichung

det(A - λI) = 0.

Die zugehörigen Eigenvektoren x_i bestimmt man mit dem Gleichungssystem

(A - λ_iI)x_i = 0.

Die Eigenvektoren sind nur bis auf einen beliebigen Faktor bestimmbar.
Häufig normalisiert man sie, indem man sie durch ihren Betrag teilt.

Rechenbeispiele mit Rechenweg

Für die Matrix

⌈ 3 1 ⌉
⌊ 1 3 ⌋

ist die Determinante zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms

| 3-λ 1 |
| 1 3-λ |

Wenn man die Determinante auswertet, erhält man:

(3 - λ)·(3 - λ) - 1.

Wenn man das ausmultipliziert, entsteht das charakteristische Polynom der Matrix:

λ² - 6λ + 8.

Das charakteristische Polynom hat die Nullstellen

λ_1,2 = 3 ± 1.

Die beiden Eigenwerte der Matrix sind somit

λ₁ = 2
λ₂ = 4

Setzt man den Eigenwert λ₁ = 2 in das Gleichungssystem ein, entsteht:
(3-2) x + 1 y = 0
1 x + (3-2) y = 0

Die Gleichungen sind gleich und man kann sie auflösen z.B. nach x:
x = -y.
Das gilt für beliebiges y. Wir nehmen y = 1 und erhalten den Eigenvektor

⌈ -1 ⌉
⌊ 1 ⌋

Setzt man den Eigenwert λ₂ = 4 in das Gleichungssystem ein, entsteht:
(3-4) x + 1 y = 0
1 x + (3-4) y = 0

Die Gleichungen sind linear abhängig und man kann sie auflösen z.B. nach x:
x = y.
Das gilt für beliebiges y. Wir nehmen y = 1 und erhalten den Eigenvektor

⌈ 1 ⌉
⌊ 1 ⌋

Für die Matrix

⌈ 5 5 5 ⌉
❘ 5 0 0 |
⌊ 5 0 0 ⌋

ist die Determinante zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms

| 5-λ  5  5 |
| 5  -λ  0 |
| 5   0 -λ |

Wenn man die Determinante auswertet, erhält man das charakteristische Polynom:

-λ³ + 5·λ² + 50·λ.

Das charakteristische Polynom hat die Nullstellen

λ₁ = 0
λ_2,3 = 5/2 ± 15/2.

Die 3 Eigenwerte der Matrix sind somit

λ₁ = 0
λ₂ = -5
λ₃ = 10

Setzt man den Eigenwert λ₁ = 0 in das Gleichungssystem ein, entsteht:
5 x + 5 y + 5 z = 0
5 x + 0 y + 0 z = 0
5 x + 0 y + 0 z = 0

Das hat die Lösung
x = 0
y = -z

Man erhält somit den Eigenvektor zu λ₁ = 0

⌈ 0 ⌉
❘ -1 |
⌊ 1 ⌋

Setzt man den Eigenwert λ₂ = -5 in das Gleichungssystem ein, entsteht:
10 x + 5 y + 5 z = 0
5 x + 5 y + 0 z = 0
5 x + 0 y + 5 z = 0

Das hat die Lösung
x = -y
z = y

Man erhält somit den Eigenvektor zu λ₂ = -5

⌈ -1 ⌉
❘ 1 |
⌊ 1 ⌋

Setzt man den Eigenwert λ₃ = 10 in das Gleichungssystem ein, entsteht:
-5 x + 5 y + 5 z = 0
5 x - 10 y + 0 z = 0
5 x + 0 y - 10 z = 0

Das hat die Lösung
x = 2y
z = y

Man erhält somit den Eigenvektor zu λ₃ = 10

⌈ 2 ⌉
❘ 1 |
⌊ 1 ⌋