Widerstandsnetzwerk berechnen mit Knotenpotentialverfahren
Mit Hilfe des Knotenpotentialverfahrens (bzw. der Knotenspannungsanalyse) werden hier für Widerstandsnetzwerke Ströme und Spannungen an den Widerständen bestimmt.
Die Spannungsquellen können sowohl ideale Spannungsquellen mit Innenwiderstand Ri=0 als auch reale Spannungsquellen sein.
Zu den Modelldaten
Neue Punkte (Knoten) kann man über die Tabelle anlegen oder aber auch durch Doppelklick im Zeichnungsbereich.
Bestehende Punkte kann man dann auch durch Klickziehen verschieben.
Widerstände werden über 2 Knoten und einen Widerstandswert festgelegt.
Auch ideale Verbindungsleitungen werden hier definiert, über die beiden Anschlussknoten und Widerstand 0.
Anstelle der Knotennummerneingabe ist auch Klickziehen möglich um neue Widerstände bzw. Leitungen anzulegen.
Spannungsquellen werden über 2 Knoten, die dazwischen anliegende Spannung und den Innenwiderstand festgelegt.
Falls der Innenwiderstand 0 ist, handelt es sich um eine ideale Spannungsquelle.
Anstelle der Knotennummerneingabe ist auch Klickziehen möglich um neue Spannungsquellen anzulegen.
Sowohl bei Widerständen wie auch bei Spannungsquellen kann man durch Doppelklick mit der Maus einen neuen Knoten anlegen.
Verschieben kann man diese Punkte allerdings nur im Bereich der Eingabe für Punkte.
Zum Berechnungsverfahren
Das Knotenpotentialverfahren basiert auf der ersten Kirchhoffschen Knotenregel: Die Summe aller Ströme an jedem Knoten ist 0.
Für jeden Widerstand zwischen 2 Knoten wird deshalb der Leitwert (Kehrwert des Widerstands) bestimmt.
Aus dem Produkt von Leitwert mit der Potentialdifferenz der zughörigen beiden Knoten ergibt sich der Strom durch den Widerstand.
Dieser Strom geht durch beide Knoten, muss also zweimal im Gesamtgleichungssystem berücksichtigt werden.
Das Gleichungssystem, das alle Knotenstrombilanzen darstellt, hat als Unbekannte die Knotenpotentiale φ an den Knoten:
Die rechte Seite isq des Gleichungssystems ist 0 bis auf die Knoten, die zu einer Stromquelle gehören.
Die symmetrische Leitwertmatrix G nimmt für jeden Widerstand Rjk zwischen 2 Knoten j und k den zugehörigen Leitwert 1/Rjk an 4 Stellen additiv auf:
Gj,j = Gj,j + 1/Rjk,
Gj,k = Gj,k - 1/Rjk (Zeile j)
Gk,j = Gk,j - 1/Rjk,
Gk,k = Gk,k + 1/Rjk (Zeile k)
Auf der Hauptialgonale von G wird der Leitwert also addiert und an den anderen beiden Positionen wird der Leitwert subtrahiert.
Wenn alle Leitwerte eingetragen sind, ist die Zeile j (bzw. k) des Gesamtsystems die Strombilanz für den Knoten j (bzw. k).
Somit wird der Strom, der durch einen Widerstand Rjk geht, stets in den 2 Zeilen für die Knoten j und k berücksichtigt.
Das hier verwendetet modifizierte Knotenpotentialverfahren erweitert das Gleichungssystem wie folgt:
Für Verbindungsleitungen und ideale Spannungsquellen wird je ein zusätzlicher Strom als Unbekannte eingeführt
und zur Formulierung der zugehörigen Potentialdifferenz eine zusätzliche Gleichung erstellt.
Dadurch fließt dann auch durch die Verbindungsleitungen ein Strom, der in der Visualisierung der Ergebnisse angezeigt wird.
Das Gleichungssystem nimmt dann die folgende Gestalt an:
Die Unbekannten in diesem System sind die unbekannten Potentiale in φ und die unbekannten Hilfsströme ih durch ideale Spannungsquellen und Leitungen.
Die Systemmatrix ist dann eine Blockmatrix mit den 4 Untermatrizen G, DT, D und 0.
Die Matrix D formuliert mit Hilfe von φ die Potentialdifferenzen von idealen Spannungsquellen und Verbindungsleitungen.
Mit der Matrix DT werden für widerstandslose Verbindungen die zugehörigen Ströme aus ih in den Knotenstrombilanzen ergänzt.
Die Matrix 0 ist bei m Hilfsströmen eine vollständig mit 0 belegte Matrix der Ordnung m×m.
Die Vektor u enthält die Spannung der idealen Spannungsquellen und ist 0 bei Verbindungsleitungen.
Während bei idealen Spannungsquellen und Verbindungsleitungen der zugehörige Strom (in ih) unbekannt ist,
werden reale Spannungsquellen anders verarbeitet. Diese werden zunächst in Stromquellen umgewandelt.
Ihr Innenwiderstand wird analog zu normalen Widerständen in die Leitwertmatrix eingebracht und der Strom der Stromquelle dann auf der rechten Seite im Vektor isq an den 2 Stellen eingetragen, wo die zugehörige Spannungsquelle anliegt.
Damit das Gleichungssystem lösbar wird, muss ein beliebiger Knoten k geerdet werden, d.h., sein Potential φk muss auf 0 gesetzt werden.
Hier wird stets der Knoten mit dem niedrigsten Potential geerdet.
Zu den Ergebnissen
Visualisiert wird der Strom im Netzwerk. Die Intensität der Blaufärbung ist dabei ein Maß für die Stromstärke im jeweiligen Widerstand.
Außerdem wird mit Pfeilen am Widerstand die technische Stromrichtung angezeigt.
Rechts werden für alle Knoten die Potentiale ausgegeben und für alle Widerstände die zugehörigen Ströme und Spannungen.
Wenn man einen Widerstand anklickt, werden Strom und Spannung für diesen Widerstand lokal angezeigt.
Wenn man einen Knoten anklickt, wird sein Potential angezeigt.
Außerdem kann die Matrix des Gleichungssystem dargestellt werden, so wie es sich vor dem Nullsetzen eines der Knotenpotentiale darstellt.
Darin sind die oben erwähnten Untermatrizen G und D zur besseren Abgrenzung mit unterschiedlichen Farben dargestellt.
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