Méthode des Nœuds pour les Circuits Électriques

Sur cette page, le système d'équations d'un réseau électrique est mis en place, les équations étant principalement la somme de tous les courants aux nœuds du réseau.
Il existe des équations supplémentaires qui expriment la différence de tension entre les nœuds, entre lesquels il n'y a pas de résistance comme c'est le cas avec les sources de tension idéales.
Le système d'équations est résolu et le résultat présenté.
La solution comprend les potentiels dans les nœuds et les courants et tensions dans les résistances.
Les sources de tension peuvent être des sources idéales avec une résistance interne R_i=0 ou des sources réelles.

Beispiele: montre la matrice du système

Vers les données du modèle

De nouveaux points peuvent être créés via le tableau ou en double-cliquant dans la zone de dessin.
Les points existants peuvent alors également être déplacés en cliquant et en faisant glisser.

Les résistances sont définies à l'aide de 2 nœuds et d'une valeur de résistance.
Les lignes de connexion idéales sont également définies ici, en utilisant les deux nœuds de connexion et la résistance 0.
Au lieu d'entrer le numéro de nœud, vous pouvez cliquer et faire glisser pour créer de nouvelles résistances ou lignes.

Les sources de tension sont déterminées par 2 nœuds, la tension entre eux et la résistance interne.
Si la résistance interne est de 0, il s'agit d'une source de tension idéale.

Vers la méthode de calcul

La méthode du potentiel des nœuds est basée sur la loi de nœuds de Kirchhoff (KCL): La somme de tous les courants à chaque nœud est 0.
La conductance (valeur réciproque de la résistance) est donc déterminée pour chaque connexion entre 2 nœuds.
Le courant traversant la résistance résulte du produit de la conductance par la différence de potentiel entre les deux nœuds associés.
Ce courant passe par les deux nœuds, il doit donc être considéré deux fois dans le système global d'équations.
Le système d'équations qui représente tous les équilibres de courant nodaux a les potentiels nodaux φ comme inconnues:

G φ = i_sc

Le côté droit i_sc du système d'équation est 0 sauf pour les nœuds qui appartiennent à une source de courant.
La matrice de conductance symétrique G prend la conductance associée 1/R_jk pour chaque résistance R_jk entre 2 nœuds j et k à 4 endroits s'ajoutant à:
G_j,j = G_j,j + 1/R_jk, G_j,k = G_j,k - 1/R_jk (ligne j)
G_k,j = G_k,j - 1/R_jk, G_k,k = G_k,k + 1/R_jk (ligne k)
Lorsque toutes les valeurs de conductance sont saisies, la ligne j (ou k) du système global est le solde actuel du nœud j (ou k).
Ainsi, le courant qui traverse une résistance R_jk est toujours pris en compte dans les 2 lignes pour les nœuds j et k.

La méthode du potentiel nodale modifié utilisée ici étend le système d'équations comme suit:
Pour les lignes de connexion et les sources de tension idéales, un courant supplémentaire est introduit en tant qu'inconnu et créé une équation supplémentaire pour formuler la différence de potentiel associée.
En conséquence, un courant circule dans les lignes de connexion, ce qui est affiché dans la visualisation des résultats.
Le système d'équations prend alors la forme suivante:

G	φ	+	D^T	i_a	=	i_sc
D	φ	+	0	i_a	=	v

Les inconnues dans ce système sont les potentiels inconnus φ et les courants auxiliaires inconnus i_a à travers des sources et des lignes de tension idéales.
La matrice système est alors une matrice par blocs avec les 4 sous-matrices G, D^T, D et 0.
La matrice D formule les différences de potentiel des sources de tension idéales et des lignes de connexion à l'aide de φ.
Avec la matrice D^T, les courants associés de i_a sont ajoutés aux bilans de courant nodaux pour la résistance- connexions gratuites. Le vecteur v contient la tension des sources de tension idéales et vaut 0 pour les lignes de connexion.
Alors qu'avec les sources de tension et les lignes de connexion idéales, le courant associé (en i_a) est inconnu,
Les sources de tension réelles sont traitées différemment. Ceux-ci sont d'abord convertis en sources de courant.
Sa résistance interne est introduite dans la matrice de conductance de manière analogue aux résistances normales.
A droite se trouve le courant de la source actuelle écrit dans le vecteur i_sc aux 2 emplacements où la source de tension associée est présente. Pour que le système d'équations soit résoluble, tout nœud doit être mis à la terre, c'est-à-dire que son potentiel doit être mis à 0.

À propos des résultats

L'électricité dans le réseau est visualisée. L'intensité de la couleur bleue est une mesure de l'intensité du courant dans la résistance respective.
De plus, le sens technique du courant est indiqué par des flèches sur la résistance.
Sur la droite, les potentiels sont sortis pour tous les nœuds et les courants et tensions associés pour toutes les résistances.
Si vous cliquez sur une résistance, le courant et la tension de cette résistance sont affichés localement.
Si vous cliquez sur un nœud, son potentiel s'affiche.
De plus, tout en bas, le système d'équations est affiché, tel qu'il apparaît avant que l'un des potentiels de nœud ne soit mis à zéro.
Les sous-matrices de blocs mentionnées ci-dessus G et D sont affichées dans des couleurs différentes pour une meilleure clarté.

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