Hier werden Kurvenintegrale 1. Art und 2. Art für Kurven in der xy-Ebene berechnet.
Die Kurven können für Streckenzüge über eine Liste der zu verbindenden Punkte oder für gekrümmte Kurvensegmente auch durch eine Darstellung in Parameterform erstellt werden.
Kurvenpunkte (xi/yi) eines Polygonzugs kann man als Tabelle editieren oder auch mit der Maus verschieben.
Krummlinige Segmente kann man einbeziehen, indem man die jeweilige Kurve in Parameterform als x(t) und y(t) bereitstellt.
Für den Kurvenparameter t werden dann in der 3. Spalte mit zwei Angaben Anfang und Ende des jeweiligen Kurvensegments festgelegt.
Die über die Parameterdarstellung in den ersten beiden Spalten definierte Kurve wird dann bei t=t1 beginnend bis hin zu t=t2 durchlaufen.
Bei der Reihenfolge der beiden t-Werte ist darauf zu achten, dass alle Kurvensegmente für t1→t2
mit einer gemeinsamen Orientierung, vom Anfangspunkt zum Endpunkt der ganzen Kurve zeigend, durchlaufen werden.
Kurvenintegrale 1. Art und 2. Art werden hier folgendermaßen unterschieden:
Kurvenintegrale 1. Art
∫ f(x,y) ds C
Es muss eine Funktion f(x,y) bereitgestellt werden.
Kurvenintegrale 2. Art
∫ [ f(x,y) dx + g(x,y) dy ] C
bzw. mit Hilfe des Skalarprodukts formuliert
∫ { f(x,y), g(x,y) }·{ dx, dy } C
Es müssen zwei Funktionen f(x,y) und g(x,y) bereitgestellt werden, die durch ein Semikolon (;) getrennt sind.
Die beiden hier mit f(x,y) und g(x,y) bezeichneten Funktionen des Integranden können natürlich auch von nur einer der beiden Variablen abhängen oder konstant sein.
Parameterdarstellung einer Kurve
Man benötigt diese für den Fall, dass die Kurve (oder eine Teilkurve) des Kurvenintegrals gekrümmt ist.
Im einfachsten Falle sind für die Kurve schon Angaben
für x und y in Abhängigkeit von einem Parameter gegeben, wie z.B. bei
x(φ) = 3*cos(φ)
y(φ) = 4*sin(φ)
Dann muss man hier den Parameter nur in t umbenennen, also
x = 3*cos(t)
y = 4*sin(t).
Ist für die Kurve eine explizite Funktionsdarstellung gemäß
y = f(x)
gegeben, dann muss man die unabhängige Veränderliche, hier also x, durch t
ersetzen, also beispielsweise für
y = 2*x - sin(x)
zu
x = t
y = 2*t - sin(t)
oder für
x = cosh(y)
zu
x = cosh(t)
y = t
Im Falle einer impliziten Funktionsdarstellung muss man versuchen nach einer der beiden Veränderlichen aufzulösen.
Danach kann man wie bereits beschrieben verfahren.
Anwendungsbeispiele
∫ 1 ds berechnet die Länge der Kurve C. C
∫ x ds/L berechnet die x-Koordinate des Kurvenschwerpunktes der Kurve C mit Länge L. C
∫ y ds/L berechnet die y-Koordinate des Kurvenschwerpunktes der Kurve C mit Länge L. C
∮ [ -y/2 dx + x/2 dy ] berechnet den Flächeninhalt eines Gebietes, das von der einfach geschlossenen Kurve C links herum umlaufen wird. C
∫ [ P(x,y) dx + Q(x,y) dy ] bestimmt die Arbeit, die im Kraftfeld {P(x,y), Q(x,y)} entsteht, wenn der Kraftangriffspunkt entlang C verschoben wird. C
∮ [ P(x,y) dx + Q(x,y) dy ] bestimmt die Zirkulation für das Feld {P(x,y), Q(x,y)} längs der geschlossenen Kurve C. C
Allgemeines zu Kurvenintegralen
Kurvenintegrale 1. Art sind unabhängig davon, in welcher Orientierung die Kurve für die Berechnung durchlaufen wird.
Bei Kurvenintegralen 2. Art ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses, wenn die Orientierung der Kurve geändert wird.
Bei Kurvenintegralen 2. Art gibt es noch das Phenomen der Wegunabhängigkeit.
Für Vektorfelder, die sich als Gradient einer skalaren Potentialfunktion darstellen lassen,
ist das Ergebnis des Kurvenintegrals unabhängig vom Weg bzw. der Kurve, die von einem beliebigen Anfangspunkt zu einem beliebigen Endpunkt führt.
Ein Umlaufintegral (bzw. Ringintegral) über eine geschlossene Kurve liefert dann notwendigerweise 0, weil die kürzeste Kurve zwischen Anfangspunkt und Endpunkt die Länge 0 hat.
Ein Test auf Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals für ein Feld f(x,y)={ fx(x,y), fy(x,y) } ist mit der Integrabilitätsbedingung gegeben:
∂fx/∂y = ∂fy/∂x.
Wenn diese Bedingung erfüllt ist, existiert eine Potentialfunktion U(x,y), für die gilt:
∂U(x,y)/∂x = fx(x,y) und
∂U(x,y)/∂y = fy(x,y).
Man kann dann das Ergebnis des Kurvenintegrals 2. Art auch einfacher bestimmen,
indem man fx bezüglich x und fy bezüglich y integriert und dann durch Vergleich gemeinsamer Anteile zur Potentialfunktion U(x,y) zusammenfasst.
Die Potentialdifferenz zwischen Endpunkt E und am Anfangspunkt A der Kurve ist dann das Ergebnis des Kurvenintegrals:
∫ f dx = U(xE, yE) - U(xA, yA) . C
Rechenbeispiel zur Wegunabhängigkeit
Ein Kurvenintegral 2. Art für das Vektorfeld f(x,y) = { x2+y, y3+x }
ist wegunabhängig, weil die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist:
Die Umkehrung der Ableitung nach x erfordert einen unbekannten Funktionsanteil g(y) und analog erfordert die Umkehrung der Ableitung nach y einen unbekannten Funktionsanteil h(x):
Die gesuchte skalare Funktion entsteht durch Vergleich und dann Zusammenfassung der beiden Ergebnisse. Zunächst gilt:
h(x) = x3/3 + C
g(y) = y4/4 + C
Und somit:
U(x,y) = xy + x3/3 + y4/4 + C1, C1 ∈ ℝ.
Das wegunabhängige Kurvenintegral
∫ [ (x2+y) dx + (y3+x) dy ] C
kann nun für eine Kurve von A nach E entweder über eine beliebige Kurve von A nach E oder
über die Potentialdifferenz zwischen den Punkten A und E bestimmt werden.
Die Differenz der Potentialfunktion U(x,y) ausgewertet an den beiden Punkten A(0/0) und Punkt E(1/2) liefert:
U(1,2) - U(0,0) = 2 + 13/3 + 24/4 = 2 + 1/3 + 4 = 19/3.
Um das Kurvenintegral durch Integration zu berechnen wählen wir als Kurve y = 2x, die direkte Verbindungslinie der Punkte A und E.
Daraus folgt dy/dx = 2 und somit dy = 2dx. Setzt man dies in das Kurvenintegral ein, erhält man:
∫ ( (x2 + 2x)·1 + (8x3+x)·2) dx = ∫ 16 x3 + x2 + 4x dx = 4x4 + x3/3 + 2x + C.
Wertet man die Stammfunktion bei x=1 und bei x=0 aus, erhält man als Differenz auch wieder 19/3.
Für eine Kurve vom Punkte A(0/0) zum Punkte E(3/0) berechnet, erhält man aus der Potentialdifferenz:
U(3,0) - U(0,0) = 33/3 = 9.
Wenn man das Kurvenintegral für die direkte Verbindungslinie berechnet, ergibt sich, weil für diese Kurve y = 0 und dy = 0 gilt:
∫ [ x2 dx + x dy ] = ∫ x2 dx = x3/3 + C.
Wertet man die Stammfunktion bei x=3 und bei x=0 aus, erhält man als Differenz auch wieder 33/3.