Aquí puede calcular integrales de línea escalar y de línea vectorial para curvas en el plano xy.
Un integral de línea escalar se tambien llama integral de línea de un campo escalar o integral de curva.
Un integral de línea vectorial se tambien llama integral de línea de un campo vectorial o integral de trayectoria.
Se pueden crear curvas para segmentos de línea usando una lista de puntos para conectar o, para segmentos de curvas curvas, usando una representación paramétrica.
Los puntos de la curva (xi/yi) se pueden editar como una tabla o mover con el mouse.
Los segmentos curvilíneos se pueden incluir proporcionando la curva respectiva en forma de parámetro como x(t) e y(t).
Para el parámetro de curva t, el inicio y el final del respectivo segmento de curva se indican en la tercera columna con dos entradas.
La curva definida mediante la visualización de parámetros en las dos primeras columnas se recorre comenzando en t=t1 hasta t=t2.
Al elegir el orden de los dos valores t, es importante asegurarse de que todos los segmentos de curva para t1→t2
con una orientación común, apuntando desde el punto inicial hasta el punto final de toda la curva.
Las integrales de línea escalar y de línea vectorial se distinguen aquí de la siguiente manera.
Integrales de línea escalar:
∫ f(x,y) ds C
Se debe proporcionar una función f(x,y).
Integrales de línea vectorial:
∫ [ f(x,y) dx + g(x,y) dy ] C
o formulado con la ayuda del producto escalar
∫ { f(x,y), g(x,y) }·{ dx, dy } C
Se deben proporcionar dos funciones f(x,y) y g(x,y), separadas por un punto y coma (;).
Las dos funciones del integrando, designadas aquí como f(x,y) y g(x,y), también pueden, por supuesto, depender sólo de una de las dos variables o ser constantes.
Representación de parámetros de una curva
Necesita esto en caso de que la curva (o una curva parcial) de la integral de curva sea curva.
En el caso más sencillo, ya existe información para la curva
para x e y dependiendo de un parámetro, como
x(φ) = 3*cos(φ)
y(φ) = 4*sin(φ)
Luego sólo tienes que cambiar el nombre del parámetro a t, es decir,
x = 3*cos(t)
y = 4*sin(t).
Existe una representación de función explícita para la curva como
y = f(x),
entonces hay que reemplazar la variable independiente, aquí x, por t, por ejemplo para
y = 2*x - sin(x)
a
x = t
y = 2*t - sin(t)
o para
x = cosh(y)
a
x = cosh(t)
y = t
En el caso de una representación de función implícita, debes intentar resolver por una de las dos variables.
Luego podrá proceder como ya se describió.
Ejemplos de aplicación
∫ 1 ds calcula la longitud de la curva C. C
∫ x ds/L calcula la coordenada x del centro de gravedad de la curva C con longitud L. C
∫ y ds/L calcula la coordenada y del centro de gravedad de la curva C con longitud L. C
∮ [ -y/2 dx + x/2 dy ] calcula el tamaño del área de un área que está rodeada por la curva cerrada C a la izquierda. C
∫ [ P(x,y) dx + Q(x,y) dy ] determina el trabajo que ocurre en el campo de fuerza {P(x,y), Q(x,y)} cuando el punto de aplicación de fuerza se mueve a lo largo de C. C
Información general sobre integrales de línea
Las integrales de línea escalar son independientes de la orientación en la que se recorre la curva para el cálculo.
Para integrales de línea vectorial, el signo del resultado cambia cuando se cambia la orientación de la curva.
Con integrales de línea vectorial todavía existe el fenómeno de independencia de trayectoria.
Para ciertos campos vectoriales y esos son los que se pueden representar como un gradiente de una función potencial escalar,
es el resultado de la integral de línea independientemente del camino o curva que conduzca desde cualquier punto inicial a cualquier punto final.
Entonces una integral sobre una curva cerrada necesariamente devuelve 0 porque la curva más corta entre el punto inicial y el punto final tiene la longitud 0.
Una prueba de independencia de la trayectoria de la integral de línea para un campo f(x,y)={ fx(x,y), fy(x ,y) } se da con la condición de integrabilidad:
∂fx/∂y = ∂fy/∂x.
Si se cumple esta condición, el resultado de la integral de línea vectorial se puede determinar más fácilmente.
Integrando fx con respecto a x y fy con respecto a y y luego combinándolos comparando partes comunes para formar la función potencial U(x,y).
La diferencia de potencial entre el punto final F y el punto inicial I de la curva es entonces el resultado de la integral de la línea:
∫ f dx = U(xF, yF) - U(xI, yI) . C
Ejemplo de cálculo para la independencia de trayectoria
La integral de línea vectorial para el campo vectorial f(x,y) = { x2+y, y3+x }
es camino independiente porque
y por tanto el potencial se determina como un resumen de los dos resultados:
U(x,y) = xy + x3/3 + y4/4 + C1, C1 ∈ ℝ.
La integral de línea
∫ [ (x2+y) dx + (y3+x) dy ] C
satisface la condición de integrabilidad, por lo que es independiente de la trayectoria.
Para cualquier curva C desde el punto I(0/0) hasta el punto F(1/2), la diferencia de la función de potencial U(x,y) da
evaluado en los dos puntos:
U(1,2) - U(0,0) = 2 + 13/3 + 24/4 = 2 + 1/3 + 4 = 19/3.
Para calcular la integral de línea directamente, tomamos la línea que conecta directamente los puntos I y F, y = 2x con 0 ≤ x ≤ 1.
Esto da como resultado dy/dx = 2 y por lo tanto dy = 2dx. Al insertar esto en la integral de línea, se obtiene:
∫ ( (x2 + 2x)·1 + (8x3+x)·2) dx = ∫ 16 x3 + x2 + 4x dx = 4x4 + x3/3 + 2x + C.
Si evaluamos la función antiderivada en x=1 y x=0, nuevamente obtenemos una diferencia de 19/3.
Calculando la diferencia de potencial entre los puntos I(0/0) y el punto F(3/0), se obtiene:
U(3,0) - U(0,0) = 33/3 = 9.
Si calcula la integral de línea para la línea de conexión directa, porque y = 0 y dy = 0 se aplica a esta curva:
∫ [ x2 dx + x dy ] = ∫ x2 dx = x3/3 + C.
Si evaluamos la función antiderivada en x=3 y x=0, obtenemos la diferencia 33/3.