Ici, les intégrales curvilignes d'un champ scalaire y les intégrales curvilignes d'un champ vectoriel sont calculées pour les courbes dans le plan xy.
Les courbes peuvent être créées pour des tronçons à l'aide d'une liste de points à connecter ou pour des segments de courbe courbe également en les affichant sous forme de paramètres.
Les points de courbe (xi/yi) d'un polygone peuvent être édités sous forme de tableau ou déplacés avec la souris.
Des segments curvilignes peuvent être inclus en fournissant la courbe respective sous forme de paramètre sous la forme x(t) et y(t).
Pour le paramètre de courbe t, le début et la fin du segment de courbe respectif sont ensuite indiqués dans la 3ème colonne avec deux entrées.
La courbe définie via l'affichage des paramètres dans les deux premières colonnes est ensuite parcourue à partir de t=t1 jusqu'à t=t2.
Lors du choix de l'ordre des deux valeurs t, il est important de s'assurer que tous les segments de courbe pour t1→t2
avec une orientation commune, pointant du point de départ au point final de toute la courbe.
Les deux différents types d'intégrales de courbe se différencient ici comme suit:
Intégrales curvilignes d'un champ scalaire
∫ f(x,y) ds C Une fonction f(x,y) doit être fournie.
Intégrales curvilignes d'un champ vectoriel
∫ [ f(x,y) dx + g(x,y) dy ] C
ou formulé à l'aide du produit scalaire
∫ { f(x,y), g(x,y) }·{ dx, dy } C Deux fonctions f(x,y) et g(x,y) doivent être fournies, séparées par un point-virgule (;).
Les deux fonctions de l'intégrande, désignées ici par f(x,y) et g(x,y), peuvent bien entendu aussi dépendre d'une seule des deux variables ou être constantes.
Représentation paramétrique d'une courbe
Vous en avez besoin dans le cas où la courbe (ou une courbe partielle) de l'intégrale de courbe est courbée.
Dans le cas le plus simple, il existe déjà des informations sur la courbe
pour x et y en fonction d'un paramètre, tel que
x(φ) = 3*cos(φ)
y(φ) = 4*sin(φ)
Ensuite, il vous suffit de renommer le paramètre en t, c'est-à-dire
x = 3*cos(t)
y = 4*sin(t).
Est une représentation de fonction explicite pour la courbe selon
y = f(x)
étant donné, alors vous devez diviser la variable indépendante, ici x, par t
remplacer, par exemple pour
y = 2*x - sin(x)
par
x = t
y = 2*t - sin(t)
ou pour
x = cosh(y)
par
x = cosh(t)
y = t
Dans le cas d'une représentation de fonction implicite, vous devez essayer de résoudre l'une des deux variables.
Vous pouvez ensuite procéder comme déjà décrit.
Exemples d'applications
∫ 1 ds calcule la longueur de la courbe C. C
∫ x ds/L calcule la coordonnée x du centre de gravité de la courbe C de longueur L. C
∫ y ds/L calcule la coordonnée y du centre de gravité de la courbe C de longueur L. C
∮ [ -y/2 dx + x/2 dy ] calcule la surface d'une zone entourée par la courbe simplement fermée C à gauche. C
∫ [ P(x,y) dx + Q(x,y) dy ] détermine le travail qui se produit dans le champ de force {P(x,y), Q(x,y)} lorsque le point d'application de la force est déplacé le long de C. C
∮ [ P(x,y) dx + Q(x,y) dy ] détermine la circulation pour le champ {P(x,y), Q(x,y)} le long de la courbe fermée C. C
Informations générales sur les intégrales de courbe
Les intégrales curvilignes d'un champ scalaire sont indépendantes de l'orientation dans laquelle la courbe est parcourue pour le calcul.
Pour les intégrales curvilignes d'un champ vectoriel, le signe du résultat change lorsque l'orientation de la courbe est modifiée.
Avec les intégrales curvilignes d'un champ vectoriel, il existe toujours le phénomène d'indépendance du chemin.
Pour les champs vectoriels pouvant être représentés sous la forme d'un gradient d'une fonction de potentiel scalaire,
est le résultat de l'intégrale de courbe quel que soit le chemin ou la courbe qui mène de n'importe quel point de départ à n'importe quel point final.
Une intégrale de circulation (ou intégrale d'anneau) sur une courbe fermée renvoie alors nécessairement 0 car la courbe la plus courte entre le point de départ et le point final a la longueur 0.
Un test d'indépendance de chemin de l'intégrale de courbe pour un champ f(x,y)={ fx(x,y), fy(x ,y) } est donné avec la condition d'intégrabilité:
∂fx/∂y = ∂fy/∂x.
Si cette condition est remplie, il existe une fonction potentielle U(x,y) pour laquelle:
∂U(x,y)/∂x = fx(x,y) und
∂U(x,y)/∂y = fy(x,y).
Vous pouvez alors déterminer plus facilement le résultat de l'intégrale de courbe de seconde espèce,
en intégrant fx par rapport à x et fy par rapport à y puis en les combinant en comparant les parties communes pour former la fonction potentielle U(x,y).
La différence de potentiel entre le point final F et le point de départ D de la courbe est alors le résultat de l'intégrale de courbe:
∫ f dx = U(xF, yF) - U(xD, yD) . C
Exemple de calcul pour l'indépendance du chemin
Une intégrale de courbe pour le champ vectoriel f(x,y) = { x2+y, y3+x }
est indépendant du chemin car la condition d'intégrabilité est satisfaite:
Il existe donc une fonction potentielle U(x,y) avec
∂U(x,y)/∂x = fx(x,y) und
∂U(x,y)/∂y = fy(x,y).
L'inversion de la dérivée par rapport à x nécessite une composante fonctionnelle inconnue g(y) et de manière analogue, l'inversion de la dérivée par rapport à y nécessite une composante fonctionnelle inconnue h(x):
La fonction scalaire que vous recherchez est créée en comparant puis en combinant les deux résultats. Tout d'abord:
h(x) = x3/3 + C
g(y) = y4/4 + C
Et donc:
U(x,y) = xy + x3/3 + y4/4 + C1, C1 ∈ ℝ.
L'intégrale de courbe indépendante du chemin
∫ [ (x2+y) dx + (y3+x) dy ] C
peut maintenant être utilisé pour une courbe de D à F soit via une courbe n'importe laquelle de D à F ou
peut être déterminé via la différence de potentiel entre les points A et E.
La différence de la fonction potentielle U(x,y) évaluée aux deux points D(0/0) et F(1/2) donne:
U(1,2) - U(0,0) = 2 + 13/3 + 24/4 = 2 + 1/3 + 4 = 19/3.
Pour calculer l'intégrale de courbe par intégration, on choisit la courbe y = 2x, la droite reliant directement les points D et F.
Cela donne dy/dx = 2 et donc dy = 2dx. Si vous insérez ceci dans l'intégrale de courbe, vous obtenez :
∫ ( (x2 + 2x)·1 + (8x3+x)·2) dx = ∫ 16 x3 + x2 + 4x dx = 4x4 + x3/3 + 2x + C.
Si vous évaluez la fonction primitive de l'intégrale à x=1 et à x=0, vous obtenez à nouveau la différence sous la forme 19/3.
Calculée pour une courbe allant du point D(0/0) au point F(3/0), on obtient de la différence de potentiel:
U(3,0) - U(0,0) = 33/3 = 9.
Si vous calculez l'intégrale de courbe pour la ligne de connexion directe, car y = 0 et dy = 0 s'appliquent à cette courbe:
∫ [ x2 dx + x dy ] = ∫ x2 dx = x3/3 + C.
Si vous évaluez la fonction primitive à x=3 et à x=0, vous obtenez à nouveau la différence sous la forme 33/3.