Los extremos locales y los puntos silla se determinan para funciones con 1, 2 o más variables.
En el caso de 2 o más variables, puede especificar hasta 2 restricciones.
El método de los multiplicadores de Lagrange se utiliza para buscar puntos extremos con restricciones.
Para este propósito, todas las derivadas parciales primera y segunda de la función objetivo o la función de Lagrange y la matriz hessiana bordeada se crean y emiten.
Multiplicadores de Lagrange
Para una tarea de optimización multidimensional con restricciones, para cada restricción
introdujo un parámetro adicional como un multiplicador de Lagrange (λi).
Luego, las restricciones se reorganizan para que un lado de la ecuación sea 0.
La condición convertida de esta manera se multiplica por el multiplicador correspondiente y luego se suma a la función objetivo examinada.
Esto luego da la función de Lagrange, que ahora se agrega a las variables originales también depende de los multiplicadores introducidos.
Condición necesaria
Necesario para la existencia de un extremo local de un al menos una vez parcialmente diferenciable la funcion es
que todas las derivadas parciales de primer orden con respecto a todas sus n variables son 0.
Este requisito proporciona así un sistema de n ecuaciones.
Esto se aplica inicialmente a las tareas de optimización sin restricciones.
Pero también se aplica a la determinación de extremos con restricciones
requisito ahora para la función de Lagrange.
Si resuelves este sistema de ecuaciones, obtienes todos los llamados puntos estacionarios.
Pero no todo punto estacionario es un extremo.
Clasificación de puntos estacionarios
Los puntos estacionarios se pueden clasificar en mínimos (min), máximos (max) y puntos silla (p.s.).
En el caso de una función f(x) de solo una variable, se examina la secuencia de n-ésimas derivadas (n=2,3,4...)
f''(xs), f'''(xs), f''''(xs), ...
Sea n la primera vez en esta secuencia para la cual f(n)(xs) ≠ 0 se cumple. Entonces:
Si este orden n es un número par, entonces hay un punto de silla, de lo contrario un extremo y para el cual se aplica lo siguiente:
Si f(n)(xs) > 0, entonces hay un mínimo en xs.
Si f(n)(xs) < 0, entonces hay un máximo en xs.
En el caso de una función de varias variables sin restricciones, se examina la matriz de HesseH de orden n×n.
Esta consiste en todas las derivadas parciales concebibles de segundo orden de la función objetivo con respecto a las n variables: hi,k=∂2f/∂xi∂xk.
Si H(xs) solo tiene valores propios positivos, xs es un mínimo.
Si H(xs) solo tiene valores propios negativos, xs es un máximo.
Si H(xs) tiene valores propios negativos y positivos y ningún valor propio 0, está en xs un punto de silla.
Si H(xs) tiene 0 como valor propio y, de lo contrario, solo valores propios positivos, es xs un punto de silla o mínimo.
Si H(xs) tiene 0 como valor propio y, de lo contrario, solo valores propios negativos, es xs un punto silla o máximo.
Si H(xs) tiene 0 como valor propio de n veces, entonces no se puede asignar xs.
En el caso de una función de varias variables con restricciones se utiliza la matriz hessiana bordeada.
La matriz hessiana bordeada consta de todas las derivadas parciales concebibles del segundo orden de la función de Lagrange según las n variables y los k multiplicadores de Lagrange introducidos.
Con k restricciones y n incógnitas, por lo tanto tiene el orden m×m, con m = k+n.
Las k filas y columnas adicionales en comparación con una matriz hessiana forman un límite de la matriz hessiana real subyacente.
Para la clasificación se examina el cambio de signo de los principales menores de la matriz hessiana bordeada.