Pour les fonctions avec 1, 2 variables ou plus, les extrema locaux (minima et maxima) et les points selle sont déterminés.
Dans le cas de 2 variables ou plus, vous pouvez spécifier jusqu'à 2 contraintes.
La méthode des multiplicateurs de Lagrange est utilisée pour rechercher des points extrêmes avec contraintes.
À cette fin, toutes les dérivées partielles première et seconde de la fonction objectif ou de la fonction de Lagrange et de la matrice de Hesse modifiée sont créées et sorties.
Multiplicateurs de Lagrange
Pour une tâche d'optimisation multidimensionnelle avec contraintes, par contrainte
dans chaque cas, un paramètre supplémentaire est introduit sous la forme d'un multiplicateur de Lagrange (λi).
Les contraintes sont alors modifiées de sorte que d'une part l'équation est 0.
La condition ainsi convertie est utilisée avec celle associée multiplicateur multiplié puis ajouté à la fonction objectif examinée.
Il en résulte alors la fonction de Lagrange, qui s'ajoute désormais aux variables d'origine cela dépend aussi des multiplicateurs introduits.
Condition nécessaire
Nécessaire à l'existence d'un extremum local d'un au moins une fois partiellement différenciable fonction est,
que toutes les dérivées partielles du premier ordre par rapport à toutes leurs n variables sont 0.
Cette exigence fournit donc un système d'équations de n équations.
Cela s'applique dans un premier temps aux tâches d'optimisation sans contraintes.
Mais cela s'applique également à la détermination des extrema avec contraintes exigence maintenant pour la fonction Lagrange.
Si vous résolvez ce système d'équations, vous obtenez tous les points stationnaires.
Mais tous les points stationnaires ne constituent pas un extremum.
Classification des points fixes
Les points stationnaires peuvent être classés en Minima (min), Maxima (max) et Points selle (p.s.).
Dans le cas d'une fonction f(x) d'une seule variable, on examine la suite des nièmes dérivées (n=2,3,4...)
f''(xs), f'''(xs), f''''(xs), .. .
Soit n la première fois dans cette séquence pour laquelle f(n)(xs) ≠ 0 est rempli. Alors ce qui suit s'applique:
Si cet ordre n est un nombre pair, alors il y a un point selle, sinon il y a un extremum et pour lequel s'applique:
Si f(n)(xs) > 0, alors il y a un minimum en xs.
Si f(n)(xs) < 0, alors il y a un maximum en xs.
Dans le cas d'une fonction de plusieurs variables sans contraintes on examine la n×n matrice de HesseH.
Il s'agit de toutes les dérivées partielles du second ordre imaginables de la fonction cible en fonction des n variables: hi,k=∂2f/∂xi∂xk.
Si H(xs) n'a que des valeurs propres positives, xs est un Minimum.
Si H(xs) n'a que des valeurs propres négatives, xs est un Maximum.
Si H(xs) a des valeurs propres négatives et positives et aucune valeur propre 0, c'est xs un point de selle devant.
Si H(xs) a 0 comme valeur propre et sinon seulement des valeurs propres positives, c'est xs un point de selle ou minimum.
Si H(xs) a 0 comme valeur propre et sinon seulement des valeurs propres négatives, c'est xs un point selle ou un maximum.
Si H(xs) a 0 comme valeur propre n fois, alors on peut pour xs ne fait aucune autre déclaration.
Dans le cas d'une fonction de plusieurs variables avec contraintes, la matrice hessienne bordée est utilisée.
La matrice hessienne bordée se compose de toutes les dérivées partielles du second ordre imaginables de la fonction de Lagrange en fonction des n variables et des k multiplicateurs de Lagrange introduits.
Donc, avec k contraintes et n inconnues, il est d'ordre m×m, avec m = k+n.
Les k lignes et colonnes supplémentaires par rapport à une matrice hessienne forment une limite de la matrice hessienne réelle en dessous.
Pour la classification, le changement de signe des principaux mineurs de la matrice hessienne bordée est examiné.