Laplace-Gleichung lösen mit FEM
Die Methode der finiten Elemente (FEM) wird für Berechnungen der stationären Wärmeleitung angewendet.
Die stationäre Wärmeleitung wird durch die folgende partielle Differentialgleichung beschrieben:
λ (∂²T/∂x² + ∂²T/∂y²) = 0.
Die Lösung wird mit Hilfe von 3-Knoten-Dreieckselementen und isoparametrischen 4-Knoten-Viereckselementen bestimmt.
Die Ansatzfunktionen beider Elemente haben entlang ihrer Kanten lineare Verläufe. Sie lassen sich daher problemlos kombinieren.
Als Lösung werden die Temperaturen an den Knoten bestimmt und zusätzlich die Wärmeströme an den Knoten, die einen Wärmeaustausch nach draußen haben.
Ferner werden alle Elementmatrizen und das Gesamtgleichungssystem ausgegeben.
Zu den Modelldaten
Bei der Punkteingabe werden alle Punkte festgelegt, die Knoten von Elementen werden sollen.
Das geschieht mit Hilfe von 2 Koordinaten. Man kann einen neuen Punkt aber auch mit Doppellklick anlegen und Punkte durch Klickziehen verschieben.
Bei der Elementeingabe wird pro Element eine Liste von 3 oder 4 Punkten erwartet. Dadurch wird indirekt der Typ des Elements festgelegt.
Diese Liste kann man auch durch Anklicken der jeweiligen Punkte erzeugen, mit Doppelklick für den letzten Punkt.
Beim Vierknotenelement muss diese Liste eine um das Element umlaufende Reihenfolge haben. Wo man beginnt ist dabei egal.
Ferner wird die Wärmeleitfähigkeit λ erwartet.
Elemente mit unterschiedlicher Wärmeleitfähigkeit werden hier durch unterschiedlich starke rot-Färbung kenntlich gemacht.
Es ist wichtig darauf zu achten, dass Knoten entlang der gemeinsamen Kante zweier Elemente auch Knoten beider Elemente sind.
Bei der Temperatureingabe und der Wärmequelleneingabe werden alle Knoten farblich hervorgehoben, die eine der beiden Vorgaben besitzen.
Rot sind Knoten mit Wärmequelle, blau sind Knoten mit Temperaturvorgabe.
Bei gegebener Wärmestromdichten q für eine Kante muss man die in 2 Knotenwärmeströme der jeweiligen Kante umrechnen: Qi=Qk=q·Lik/2.
Zu den Ergebnissen
Dargestellt wird der Verlauf der Temperatur T(x,y) im Gebiet.
Als Tabelle ausgegeben wird ferner die Temperatur an allen Knoten und die Wärmeströme zwischen dem untersuchten Gebiet und der Umgebung.
Falls dem Gebiet Energie zufließt (Wärmequellen) ist der Wärmestrom positiv.
Falls aus dem Gebiet Energie abfließt (Wärmesenken) ist der Wärmestrom negativ.
Temperaturen im Inneren der Elemente kann man dargestellt bekommen, indem man ins jeweilige Element hinein klickt.
Bei der Darstellung des Gesamtsystems werden farblich mit blau die Zeilen gekennzeichnet, bei denen Knoten eine Vorgabe von Temperaturen haben.
Ferner wird auf der rechten Seite rot dargestellt, falls der jeweilige Knoten eine Wärmestromvorgabe hat.
Die Vorgabe von Temperaturen ist in der Regel eine inhomogene Randbedingung mit Werten ungleich 0.
Wie bei den Lagerungsbedingungen der FEM für strukturmechanische Probleme kann man deshalb auch hier die jeweilige Zeile bis auf das Diagonalelement zu 0 setzen.
Die zugehörige Spalte zu 0 setzen ist aber im Allgemeinen nicht zulässig.
Will man wieder zu einer symmetrischen Matrix des Gesamtsystems kommen, muss man geeignete Vielfache der gerade betrachteten inhomogenen Randbedingung
zu den anderen Zeilen addieren, die in der zugehörigen Spalte nicht 0 sind, so dass dann dort auch eine 0 entsteht.
Zu den Einheiten
Es empfiehlt sich das SI-Einheitensystem zu verwenden:
Die Punkt-Koordinaten sind in der Einheit m zu verstehen.
Temperaturen haben die Einheit K (Kelvin).
Die Wärmeleitfähigkeit λ hat die Einheit W/mK.
Die gleiche Einheit haben die Elemente der "Steifigkeitsmatrix" des Wärmeleitproblems.
Eine auf eine Kante einwirkende Wärmestromdichte, bezogen auf die Materialdicke und die Kantenlänge, hat die Einheit W/m².
Die Knotenwärmeströme Qi sind dann von der Einheit W/m.
Das hier noch die Längeneinheit im Nenner erscheint ist Folge der ebenen Betrachtungsweise.
Die Knotenwärmeströme Qi sind daher eigentlich die auf die Materialdicke bezogenen Wärmeströme.
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