Charakteristisches Polynom und Eigenwerte reeller Matrizen

Für das Eigenwertproblem

(A - λ E) u = 0

mit beliebiger quadratischer Matrix A und Einheitsmatrix E ist das charakteristische Polynom

det (A - λ E).

Die Nullstellen dieses charakteristischen Polynoms der Matrix A sind die Eigenwerte λi der Matrix A.

Das charakteristische Polynom wird hier erstellt und alle seine reellen und komplexen Nullstellen bestimmt.
Beim Erstellen des charakteristischen Polynoms wird der Algorithmus von Faddejew-Leverrier verwendet.

Für symmetrische Matrizen sind die Eigenwerte stets alle reell. Bei nicht symmetrischen Matrizen können auch komplexe Eigenwerte auftreten.
Die gibt es dann jeweils als konjugiert komplexe Paare.

Anzahl der Zeilen Beispiele





Erläuterung zur grafischen Darstellung

Dargestellt sind als schwarze Punkte in der komplexen Zahlenebene die Eigenwerte der Matrix
und zusätzlich rote Kreise, die einer groben Abschätzung der Lage der Eigenwerte dienen.
Diese Abschätzung erübrigt sich bei Dreiecksmatrizen.
Bei diesen Matrizen stehen die Eigenwerte direkt ablesbar auf der Hauptdiagonalen.

Gemäß der Eigenwertabschätzung nach Gerschgorin gibt es Kreisscheiben in der komplexen Zahlenebene,
in deren Vereinigungsmenge alle Eigenwerte der Matrix liegen.
Die Kreismittelpunkte sind die Diagonalelemente der Matrix.
Die Radien der Kreise bestimmen sich aus der Summe der Beträge der zugehörigen übrigen Zeilenelemente.
Alternativ kann man auch die Beträge der zugehörigen übrigen Spaltenelemente aufaddieren.

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