Charakteristisches Polynom und Eigenwerte
Für reelle Matrizen werden hier das charakteristische Polynom und die Eigenwerte bestimmt.
Das Matrizeneigenwertproblem für eine Matrix A ist dabei gegeben durch:
A x = λ x.
Das charakteristische Polynom von A bestimmt man mit der Determinante
det (A - λ I).
Darin ist I die Einheitsmatrix.
Das charakteristische Polynom ist ein Polynom in λ vom Grade n, wenn A die Ordnung n×n hat.
Die Nullstellen dieses charakteristischen Polynoms der Matrix A sind die Eigenwerte λi der Matrix A.
Das charakteristische Polynom wird hier erstellt und alle seine reellen und komplexen Nullstellen bestimmt.
Erstellt wird das charakteristische Polynom mit dem Algorithmus von Faddejew-Leverrier.
Für symmetrische Matrizen sind die Eigenwerte stets alle reell.
Bei nicht symmetrischen Matrizen können auch komplexe Eigenwerte auftreten.
Die gibt es dann jeweils als konjugiert komplexe Paare.
Erläuterung zur grafischen Darstellung
Dargestellt sind als schwarze Punkte in der komplexen Zahlenebene die Eigenwerte der Matrix
und zusätzlich rote Kreise, die einer groben Abschätzung der Lage der Eigenwerte dienen.
Diese Abschätzung erübrigt sich bei Dreiecksmatrizen.
Bei Dreiecksmatrizen stehen die Eigenwerte direkt ablesbar auf der Hauptdiagonalen.
Gemäß der Eigenwertabschätzung nach Gerschgorin gibt es Kreisscheiben in der komplexen Zahlenebene,
in deren Vereinigungsmenge alle Eigenwerte einer Matrix liegen.
Die Kreismittelpunkte sind die Diagonalelemente der Matrix.
Die Radien der Kreise bestimmen sich aus der Summe der Beträge der zugehörigen übrigen Zeilenelemente.
Alternativ kann man auch die Beträge der zugehörigen übrigen Spaltenelemente aufaddieren.
Rechenbeispiel mit Rechenweg
Für die Matrix
⌈ 3 3 ⌉
⌊ 1 5 ⌋
ist die Determinante zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms
| 3-λ 3 |
| 1 5-λ |
Wenn man die Determinante auswertet, erhält man:
(3 - λ)·(5 - λ) - 3.
Wenn man das ausmultipliziert, entsteht das charakteristische Polynom der Matrix:
λ2 - 8λ + 12.
Das charakteristische Polynom hat die Nullstellen
λ1,2 = 4 ± 2.
Die beiden Eigenwerte der Matrix sind somit
λ1 = 2
λ2 = 6
weitere JavaScript-Programme