Polinomio Característico y Autovalores
Para matrices cuadradas reales, aquí se determinan el polinomio característico y los valores propios.
El problema de valor propio de una matriz A está dado por:
A x = λ x.
El polinomio característico de A se determina con el determinante
det (A - λ I).
Donde I es la matriz identidad.
El polinomio característico es un polinomio en λ de grado n si A es de orden n×n.
Los ceros de este polinomio característico de la matriz A son los valores propios λi de la matriz A.
Aquí se crea el polinomio característico y se determinan todas sus raíces reales y complejas.
El polinomio característico se crea utilizando el algoritmo Faddejew-Leverrier.
Para matrices simétricas, los valores propios son siempre todos reales.
Los valores propios complejos también pueden ocurrir en matrices no simétricas.
Estos entonces existen como pares complejos conjugados.
Explicación de la representación gráfica
Los valores propios de la matriz se muestran como puntos negros en el plano de números complejos
y círculos rojos adicionales, que sirven como una estimación aproximada de la posición de los valores propios.
Esta estimación no es necesaria para matrices triangulares.
En el caso de matrices triangulares, los valores propios son directamente legibles en la diagonal principal.
Según la estimación de valores propios de Gerschgorin, hay discos en el plano complejo,
cuya unión contiene todos los valores propios de una matriz.
Los centros de los círculos son los elementos diagonales de la matriz.
Los radios de los círculos se determinan a partir de la suma de las cantidades de los otros elementos de línea asociados.
Alternativamente, también puede sumar las cantidades de los otros elementos de columna asociados.
Ejemplo de cálculo con método de cálculo
Para la matriz
⌈ 3 3 ⌉
⌊ 1 5 ⌋
el determinante para determinar el polinomio característico es
| 3-λ 3 |
| 1 5-λ |
La evaluación del determinante da:
(3 - λ)·(5 - λ) - 3
Si multiplicas esto, obtienes el polinomio característico de la matriz:
λ2 - 8λ + 12
El polinomio característico tiene ceros
λ1,2 = 4 ± 2
Los dos valores propios de la matriz son así
λ1 = 2
λ2 = 6
otras aplicaciones en JavaScript