Lineare Differentialgleichungen 1., 2., 3. und 4. Ordnung

Für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten wird die analytische Lösung erzeugt und grafisch dargestellt.
Die unabhängige Variable ist hier x, die abhängige Variable ist y, d.h. y = y(x).

Beispiel einer inhomogenen Dgl. 2. Ordnung:
y'' + 2y' + 5y = sin(3x)

Für die partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl. wird die übliche Ansatztechnik verwendet, die sich am Typ der rechten Seite orientiert.
Zulässige rechte Seiten sind: a·cos(b·x), a·sin(b·x), a·exp(b·x) und a·x^c mit a,b ∈ ℝ und c ∈ ℕ₀.

Für das Anfangswertproblem müssen bei einer Dgl. n-ter Ordnung n Anfangsbedingungen für einen Start-x-Wert, z.B. x=0, erstellt werden:
y(0)=r₀, y'(0)=r₁, ... y^(n-1)(0)=r_n-1 mit r_i ∈ ℝ
Damit werden dann die n freien Koeffizienten C_i der allgemeinen Lösung der homogenen Dgl. unter Beachtung der partikulären Lösung bestimmt.

Bei einem Randwertproblem hingegen werden an den Rändern des zu untersuchenden Gebietes n Vorgaben für die Lösung y(x) und/oder ihre Ableitungen gemacht.

Dgl.
Bdgn.
Grafik	x_A x_E
Beispiele

Anwendungsbeispiel Randwertproblem

Eine konkrete technische Anwendung für ein Randwertproblem einer Dgl. 4. Ordnung ist die Balkenbiegung.
Für einen schubstarren Balken der Biegesteifigkeit EI, der unter der Streckenlast q(x) steht, gilt:

EI w'''' = q(x).

Die Lösung w(x) dieser Dgl. ist die Biegelinie, die sich unter der Belastung einstellt.
An jedem der beiden Enden des Balkens muss man jeweils 2 Randbedingungen vorgeben.

Es gibt dabei 4 Möglichkeiten Lagerung für x=x_R zu beschreiben:
a) w(x_R)=0 - die Querverschiebung bei x_R ist 0
b) w'(x_R)=0 - die Neigung der Biegelinie bei x_R ist 0
c) w''(x_R)=0 - kein Biegemoment bei x_R
d) w'''(x_R)=0 - keine Querkraft bei x_R

So ist ein eingespannter Rand mit a) und b) formuliert.
Für einen freien Rand wird c) und d) benötigt.
Für ein Festlager oder Loslager nimmt man a) und c).
Eine Führung quer zum Balken wäre b) und d).

Auch Einzellasten an den Rändern lassen sich formulieren:
w''(x_R) = -M/(EI) - Moment M am Rand um die z-Achse
w'''(x_R) = F/(EI) - Kraft F am Rand in y-Richtung

Anwendungsbeispiel Anfangswertproblem

Eine konkrete technische Anwendung für ein Anfangswertproblem einer Dgl. 2. Ordnung sind Schwingungen eines Einmassenschwingers.
Diese sind im Prinzip beschrieben durch eine Differentialgleichung der Form:

m y^•• + b y^• + k y = f(t).

In dieser Dgl. ist m die Masse, b ist die Dämpferkonstante, k ist die Federkonstante und f(t) eine veränderliche Erregerkraft.
Die Lösung y(t) beschreibt den zeitlichen Verlauf der Schwingungen infolge der Anregung f(t) und der beiden Anfangsbedingungen:
y(0) = y₀ (Vorgabe einer Startauslenkung)
y^•(0) = v₀ (Vorgabe einer Startgeschwindigkeit)

Damit eine Schwingung zustande kommt, muss entweder eine Anregung f(t) ≠ 0 gegeben sein, oder mindestens einer der beiden Anfangswerte (y₀, v₀) muss ungleich 0 sein.

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