Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden 1, 2, 3 y 4
La solución analítica de ecuaciones diferenciales lineales (EDO) con coeficientes constantes se genera y se muestra gráficamente.
La variable independiente aquí es x, la variable dependiente es y, es decir, y = y(x).
Ejemplo de una ecuación diferencial no homogénea de segundo orden:
y'' + 2y' + 5y = sin(3x)
Para la solución particular de la ecuación no homogénea se utiliza la técnica habitual, que se basa en el tipo del lado derecho.
Lados de la derecha permitidos son: a·cos(b·x), a·sin(b·x), a·exp(b·x) y a·xc con a,b ∈ ℝ y c ∈ ℕ₀.
En el problema de valor inicial para una ecuación de orden n, se deben crear n condiciones iniciales:
y(0)=r0, y'(0)=r1, ... y(n-1)(0)=rn-1 con ri ∈ ℝ
Con esto se determinan los coeficientes libres Ci de la solución general de la ecuación homogénea, teniendo en cuenta la solución particular.
En un problema de valores de la frontera, por otro lado, se hacen n especificaciones para la solución y(x) y/o sus derivadas en los bordes del área a examinar.
Ejemplo de aplicación problema de valor límite
Una aplicación técnica concreta para un problema de valores límite de una ecuación de cuarto orden es la flexión de una viga.
Para una viga resistente a cortante con rigidez a flexión EI, que está bajo la carga lineal q(x), se aplica lo siguiente:
EI w'''' = q(x).
La solución w(x) de esta ecuación es la línea de flexión que surge bajo la carga.
Se deben especificar dos condiciones de contorno en cada uno de los dos extremos de la barra.
Hay 4 formas de describir el apoyos para x=xB:
a) w(xB)=0 - el desplazamiento transversal en xB es 0
b) w'(xB)=0 - la inclinación de la línea de flexión en xB es 0
c) w''(xB)=0 - sin momento flector en xB
d) w''''(xB)=0 - sin fuerza cortante en xB
Así se formula un borde sujeto con a) y b).
Para un borde libre se requieren c) y d).
Para un rodamiento fijo o un rodamiento flotante, tome a) y c).
Para un apoyo guidado se requieren c) y d).
También se pueden formular cargas concentradas en los bordes:
w''(xB) = -M/(EI) - momento M en el borde alrededor del eje z
w'''(xB) = F/(EI) - fuerza F en el borde en la dirección y
Ejemplo de aplicación problema de valor inicial
Una aplicación técnica concreta para un problema de valor inicial de una ecuación de segundo orden son las oscilaciones de un oscilador armónico.
Estos se describen básicamente mediante una ecuación diferencial de la forma:
m y•• + b y• + k y = f(t).
En esta ecuación, m es la masa, b es la constante del amortiguador, k es la constante del resorte y f(t) es una fuerza de excitación variable.
La solución y(t) describe el curso temporal de las oscilaciones como resultado de la excitación f(t) y las dos condiciones iniciales:
y(0) = y0 (especificación de una deflexión inicial)
y•(0) = v0 (especificación de una velocidad inicial)
Para que ocurra una oscilación, la excitación f(t) debe ser desigual 0, o al menos uno de los dos valores iniciales (y0, v0) debe ser desigual 0.
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