Équations différentielles linéaires d'ordre 1, 2, 3 et 4
La solution analytique des équations différentielles linéaires à coefficients constants est générée et affichée graphiquement.
La variable indépendante ici est x, la variable dépendante est y, c'est-à-dire y = y(x).
Exemple d'équation différentielle du second ordre non homogène:
y'' + 2y' + 5y = sin(3x)
Pour la solution particulière de l'équation non homogène, la technique habituelle est utilisée, basée sur le type du côté droit.
Les côtés droits autorisés sont : a·cos(b·x), a·sin(b·x), a·exp(b·x) et a·xc avec a,b ∈ ℝ et c ∈ ℕ₀.
Dans le problème des valeurs initiales pour une équation d'ordre n, n conditions initiales doivent être créées:
y(0)=r0, y'(0)=r1, ... y(n-1)(0)=rn-1 con ri ∈ ℝ
Avec cela, les coefficients libres Ci de la solution générale de l'équation homogène sont déterminés, en tenant compte de la solution particulière.
Dans un problème de valeurs limites, en revanche, n spécifications sont faites pour la solution y(x) et/ou ses dérivées aux bords de la zone à examiner.
Exemple d'application d'un problème de valeur limite
Une application technique concrète pour un problème de valeur limite d'une équation du quatrième ordre est la flexion d'une poutre.
Pour une poutre résistante au cisaillement avec une rigidité en flexion EI, qui est soumise à la charge linéaire q(x), ce qui suit s'applique:
EI w'''' = q(x).
La solution w(x) de cette équation est la ligne de flexion qui apparaît sous la charge.
Vous devez spécifier 2 conditions aux limites à chacune des deux extrémités de la barre.
Il existe 4 façons de décrire les supports pour x=xB:
a) w(xB)=0 - le déplacement transversal en xB est 0
b) w'(xB)=0 - l'inclinaison de la ligne de courbure en xB est 0
c) w''(xB)=0 - pas de moment fléchissant en xB
d) w''''(xB)=0 - pas de force de cisaillement sur xB
C'est ainsi qu'un bord serré est formulé avec a) et b).
Pour un bord libre, c) et d) sont nécessaires.
Pour un roulement fixe ou flottant vous prenez a) et c).
Un guide à travers le faisceau serait b) et d).
Exemple d'application problème de valeur initiale
Une application technique concrète pour un problème de valeur initiale d'une équation du second ordre est les oscillations d'un oscillateur à masse unique.
Ceux-ci sont essentiellement décrits par une équation différentielle de la forme:
m y•• + b y• + k y = f(t).
Dans cette équation, m est la masse, b est la constante de l'amortisseur, k est la constante du ressort et f(t) est une force d'excitation variable.
La solution y(t) décrit l'évolution temporelle des oscillations résultant de l'excitation f(t) et les deux conditions initiales:
y(0) = y0 (spécification d'une déflexion initiale)
y•(0) = v0 (spécification d'une vitesse initiale)
Pour qu'une oscillation se produise, il faut donner à une excitation f(t) 0, ou au moins une des deux valeurs initiales (y0, v0)
ne soit pas égal à 0.
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