Lineare Gleichungssysteme mit Brüchen
Ein lineares Gleichungssystem wird hier mit Hilfe einer Matrix und zweier Vektoren dargestellt:
A x = b.
A ist die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems, b ist der Vektor der rechten Seite
und x ist der Lösungsvektor.
Der Ergebnisvektor x kann wahlweise mit Hilfe von Brüchen oder mit Fließkommazahlen dargestellt werden.
Zu den Eingabedaten
Zulässige Eingaben sind Brüche (gebildet mit ganzen Zahlen) und auch Fließkommazahlen.
Zum Algorithmus
Der verwendete Algorithmus ist das Gauß'sche Eliminationsverfahren.
Der Unterschied zum "normalen" Verfahren besteht hier nur darin, dass alle Elemente der Koeffizientenmatrix A
sowie der Vektoren x und b nun durch jeweils 2 Zahlen (Zähler und Nenner eines Bruchs) dargestellt werden.
Außerdem müssen die grundlegenden Rechenoperationen (+,-,*,/) durch Funktionsaufrufe für Bruchrechnung ersetzt werden.
Gerundete Ergebnisse versus Brüche
Wenn bei einem vollständig gekürzten Bruch die Primfaktorzerlegung des Nenners die Faktoren 3 oder eine andere Primzahl größer als 5 beinhaltet,
hat die zugehörige reelle Zahl eine nicht abbrechende Ziffernfolge. Für eine Fließkomma-Darstellung muss dann gerundet werden.
Aber auch andernfalls kann die Ziffernfolge der Fließkomma-Darstellung lang werden, evtl. länger als gewünscht. Auch dann wird man runden wollen.
Diesem Runden geht man durch Verwendung von Brüchen aus dem Weg und erhält dann exakte Ergebnisse.
Andererseits benötigt man nicht immer das exakte Ergebnis und dann sind die gerundeten Fließkomma-Ergebnisse doch anschaulicher.
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