Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por método de Gauss Jordan Eliminación el programa aquí resuelve cualquier sistema de ecuaciones lineales (compatible determinado y compatible indeterminado) de forma
A x = b.
A es la matriz del sistema, x is el vector de incógnitas y b es el vector de los términos independientes.
Con Respecto a la Entrada
Todas las celdas pueden contener números decimales o fórmulas que se reevalúan cada vez antes de que se resuelva el sistema de ecuaciones.
Las celdas no utilizadas se interpretan como 0, por lo que no es necesario que ingrese ceros.
Opcionalmente, puede definir sus propios parámetros o variables, que luego puede usar en las celdas del sistema de ecuaciones.
Antecedentes Matemáticos
Una solución unica solamente existe, si det(A)≠0, es decir si la matriz no es singular (Sistema Compatible Determinado).
La distinción adicional depende de la matriz ampliada A|b.
Si det(A)=0 y rg(A)<rg(A|b) no hay solución (Sistema Incompatible).
Si det(A)=0 y rg(A)=rg(A|b) hay una infinidad de soluciones (Sistema Compatible Indeterminado).
Estas soluciones se pueden dar en forma de solución general.
La solución general es la suma de una solución particular del sistema de ecuaciones no homogéneo
y la combinación lineal de las soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones formado con la ayuda de parámetros libres λi (λi ∈ ℝ).
La solución particular se determina aquí de tal manera que sea ortogonal a las soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones.
El número de λi corresponde a la diferencia entre el número de incógnitas y el rango de la matriz A.
Cómo crear la Matriz de Coeficientes
En notación matricial, un sistema lineal de ecuaciones se puede representar como:
A x = b.
Se deben dar la matriz A y el vector b para determinar el vector x.
Si ha dado un sistema de ecuaciones con n ecuaciones, debe usarlas para crear la matriz n×n A y el vector b.
Para ello, los términos que no contienen incógnitas se llevan al lado derecho del sistema mediante suma o resta.
Los términos con incógnitas que están en el lado derecho también se llevan al lado izquierdo del sistema mediante suma o resta.
Además, los términos contenidos en las ecuaciones se reordenan de tal manera que las incógnitas aparecen en cada ecuación en el mismo orden:
Ejemplo:
5a - 3c - 7b + 8 = 0
b - a - 2c = -4
c = a + b
Términos correctamente asignados al lado derecho e izquierdo (este paso muchas veces no es necesario):
5a - 3c - 7b = -8
b - a - 2c = -4
c - a - b = 0
Reordenado (en principio cualquier orden de las incógnitas, aquí léxico):
5a - 7b - 3c = -8
-a + b - 2c = -4
-a - b + c = 0
Ahora los factores delante de las incógnitas a,b,c en el lado izquierdo se pueden escribir en este orden línea por línea
en la matriz de coeficientes A.
Esto da como resultado la asignación para A:
Si una ecuación no contiene una de las incógnitas, se ingresa 0 en la matriz de coeficientes.
El vector del lado derecho b se rellena con los números del lado derecho del sistema de ecuaciones.
Luego obtienes el sistema que consta de la matriz y el lado derecho:
| A | │ | b |
| 5 | -7 | -3 | │ | -8 |
| -1 | 1 | -2 | │ | -4 |
| -1 | -1 | 1 | │ | 0 |
Después de completar el cálculo, el vector solución x contiene las incógnitas buscadas en el
Orden elegido al configurar el sistema de ecuaciones reordenado.
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