Systèmes d'Équations Linéaires
La calculatrice ici utilise l'élimination gaussienne pour résoudre tout système d'équations linéaires (même sous-déterminé) de la forme
A x = b.
A est la matrice du système, x est le vecteur des inconnues et b est le vecteur des termes indépendants.
Vous pouvez définir des paramètres auxiliaires, qui peuvent être utilisés dans les éléments de la matrice et des termes indépendants.
Les cellules inutilisées sont interprétées comme 0, il n'est donc pas nécessaire de spécifier des zéros.
Vous pouvez modifier la cellule de saisie avec les touches du curseur. Bouton OK ou Clé CR (retour chariot) lance un nouveau calcul.
Contexte mathématique
Une unique solution existe lorsque det(A)≠0, c'est-à-dire si la matrice n'est pas singulière.
La distinction supplémentaire dépend de la matrice élargie A|b.
Si det(A)=0 et rg(A)<rg(A|b) il n'y a pas de solution.
Si det(A)=0 et rg(A)=rg(A|b) il y a une infinité de solutions.
Dans ce cas, le système d'équations est sous-déterminé.
Ces solutions peuvent être données sous la forme d'une solution générale.
La solution générale est la somme d'une solution particulière du système d'équations inhomogène
et la combinaison linéaire de toutes les solutions du système homogène d'équations formé à l'aide de paramètres libres λi (λi ∈ ℝ).
Le nombre de paramètres nécessaires est égal à la différence entre le nombre d'inconnues et le rang de la matrice du système.
Comment créer la matrice des coefficients
En notation matricielle, un système d'équations linéaires peut être représenté comme suit :
A x = b.
Pour déterminer le vecteur x, il est nécessaire de connaître la matrice A et le vecteur b.
Si un système de n équations est donné, il faut créer la matrice n×n A et le vecteur b.
Pour ce faire, les termes sans inconnue sont déplacés à droite du système par addition ou soustraction.
Les termes contenant des inconnues, situés à droite, sont également déplacés à gauche du système par addition ou soustraction.
Enfin, les termes des équations sont réorganisés de sorte que les inconnues de chaque équation apparaissent dans le même ordre.
Exemple:
5a - 3c - 7b + 8 = 0
b - a - 2c = -4
c = a + b
Attribuer correctement les termes des membres de droite et de gauche (cette étape est souvent inutile) :
5a - 3c - 7b = -8
b - a - 2c = -4
c - a - b = 0
Réorganisé (l'ordre des inconnues est en principe arbitraire, ici lexical) :
5a - 7b - 3c = -8
-a + b - 2c = -4
-a - b + c = 0
Les coefficients des inconnues a, b, c du membre de gauche peuvent maintenant être transférés ligne par ligne, dans cet ordre
dans la matrice des coefficients A.
On obtient alors l’affectation suivante pour A :
Si l'une des inconnues d'une équation est omise, on inscrit 0 dans la matrice des coefficients.
Le vecteur du second membre b est rempli avec les valeurs numériques du second membre du système d'équations.
On obtient ainsi le système composé de la matrice et du vecteur du second membre :
| A | │ | b |
| 5 | -7 | -3 | │ | -8 |
| -1 | 1 | -2 | │ | -4 |
| -1 | -1 | 1 | │ | 0 |
Une fois le calcul terminé, le vecteur solution x contient les inconnues dans l'ordre
choisi lors de la configuration du système d'équations réorganisé.
Le programme Systèmes d'équations non linéaires est principalement utilisé pour résoudre les systèmes d'équations non linéaires,
mais peut également être utilisé pour les systèmes d'équations linéaires. Vous pouvez y saisir les équations directement.
Algorithme de Gauss
L'objectif est de transformer une matrice donnée, généralement pleine, en une matrice triangulaire supérieure :
* * * * * * * * * * *
* * * * * 0 * * * * *
* * * * * -> 0 0 * * * *
* * * * * 0 0 0 * * *
* * * * * 0 0 0 0 * *
* * * * * 0 0 0 0 0 *
L'algorithme procède colonne par colonne, de gauche à droite.
Tout d'abord, la colonne située sous le premier élément diagonal est initialisée à 0,
puis la colonne située sous le deuxième élément diagonal est initialisée à 0, et ainsi de suite.
L'élément diagonal en question est appelé pivot.
Il doit être non nul.
Sinon, on recherche un élément non nul situé en dessous du pivot.
Si aucun élément non nul n'est trouvé, la matrice est singulière et l'algorithme s'arrête.
Sinon, la ligne trouvée est échangée avec la ligne contenant le pivot.
La colonne située sous l'élément pivot est maintenant initialisée à 0
en ajoutant aux lignes inférieures des multiples appropriés de la ligne contenant l'élément pivot.
Une étape récurrente consiste donc à initialiser à 0 toutes les cellules situées sous une cellule diagonale.
* * * * * * | * * * * * * * | *
0 * * * * * | * 0 * * * * * | *
0 0 * * * * | * 0 0 * * * * | *
0 0 * * * * | * -> 0 0 0 * * * | *
0 0 * * * * | * 0 0 0 * * * | *
0 0 * * * * | * 0 0 0 * * * | *
Pour la ligne n+1, on obtient un multiple approprié de la ligne n, dont l'élément pivot est an,n,
en multipliant la ligne n par -an+1,n/an,n.
Une fois la matrice des coefficients du système d'équations transformée en une forme triangulaire supérieure,
le système d'équations peut être facilement résolu ligne par ligne, de bas en haut.
Plus de logiciels en JavaScript