Matrizenrechnung

Matrizen-Rechenausdruck

Der Matrix-Rechner kennt alle Rechenoperationen:
Multiplizieren, Addieren, Potenzieren, Transponieren, Inverse, Determinante, Rang, Kern, Kondition, Norm und vieles mehr.
Dazu werden hier Rechenausdrücke mit Matrizen ausgewertet, die mit Hilfe der Operatoren *,+,-,^ und / (/ nur wenn der Divisor skalar ist) gebildet werden.
Die Matrizen können von beliebiger Ordnung n×m sein, müssen also nicht unbedingt quadratisch sein.
Auch Vektoren kann man als einspaltige (n×1) bzw. einzeilige (1×n) Matrizen in die Terme mit einbeziehen.
Einige Funktionen für Matrizen sind vorhanden (s.u.), die ebenfalls in den Ausdrücken genutzt werden können.

Wird eine Zuweisung im Rechenausdruck gemacht, so wird mit dem Ergebnis eine Matrix angelegt.
Für einen Rechenausdruck ohne Zuweisung wird das Ergebnis nur bestimmt und ganz unten ausgegeben.
Wird eine Zuweisung ohne rechte Seite gemacht, wird die links angegebene Matrix entfernt.

Um eine zunächst nur mit Nullen belegte n×m-Matrix A anzulegen verwendet man eine Zuweisung der Form
A=zeros(n,m).
Hat man eine mit 0 belegte ("leere") Matrix angelegt, kann man sie dann gezielt mit Zahlen belegen. Leere Felder werden als 0 interpretiert.

Man kann eine Matrix alternativ auch durch Zuweisung ihrer Zeilenbelegung anlegen:
Die Zeilen müssen dann jeweils als Liste von nur durch Blanks getrennten Zahlen angegeben werden.
Die einzelnen Zeilen werden dabei durch Semikolon voneinander getrennt gelistet.
So wird z.B mit A=[3 -4; -4 5] eine symmetrische Matrix A mit 2 Zeilen und 2 Spalten angelegt.

Beispiele für Rechenausdrücke (die verwendeten Matrizen A bzw. B müssen vorher angelegt worden sein):

A*B	bestimmt das Produkt der Matrizen A und B.
(A+B)^-1	bestimmt die Inverse der Summe der Matrizen A und B.
-A'	bestimmt die Transponierte der mit -1 multiplizierten Matrix A.
2.5*A	bestimmt das Produkt des Skalars 2.5 mit der Matrix A.
C=A^3	bestimmt die Matrixpotenz A³ und legt damit die Matrix C an.

Folgende Funktionen sind verfügbar:

adjoint(A)	Bestimmt die Adjunkte der quadratischen Matrix A
chol(A)	Bestimmt die Matrix R der Cholesky-Zerlegung R'·R einer symmetrischen, positiv definiten Matrix A
cond(A)	Berechnet die Kondition einer regulären, quadratischen Matrix A
det(A)	Berechnet die Determinante der quadratischen Matrix A
diag(a)	Erstellt eine Diagonalmatrix mit der Belegung des Vektors a auf der Diagonale
diag(A)	Erstellt einen Vektor belegt mit der Diagonalen der Matrix A
eye(n,m)	Erstellt eine n×m-Matrix mit Einsen auf der Diagonale
hess(A)	Erstellt für eine quadratische Matrix A eine obere Hessenberg-Matrix durch Givens-Transformationen
inv(A)	Bestimmt die inverse Matrix (Kehrmatrix) A^-1 zur regulären Matrix A
linsolve(A,B)	Bestimmt die Lösung X des Gleichungssystems A·X=B. A ist eine reguläre n×n-Matrix, B und X sind n×m-Matrizen
lyap(A,Q)	Bestimmt die Lösung X der Lyapunov-Gleichung A'·X + X·A + Q = 0, A, Q und X sind quadratische Matrizen
lyap(A,B,C)	Bestimmt die Lösung X der Sylvester-Gleichung A·X + X·B + C = 0, A ist eine n×n-Matrix, und B ist eine m×m-Matrix, C und X sind n×m-Matrizen
norm(A)	Berechnet die Spektralnorm von A
null(A)	Bestimmt den Kern bzw. Nullraum von A, als orthonormierte Spaltenvektoren zu einer Matrix zusammengestellt
orth(A)	Bestimmt eine Orthonormalbasis des Bildraums von A, als Spaltenvektoren zu einer Matrix zusammengestellt
pinv(A)	Bestimmt die Moore-Penrose-Pseudoinverse A⁺ von A, für die gilt: A⁺A A⁺=A⁺ und A A⁺A=A und (A⁺)⁺=A
rank(A)	Berechnet den Rang einer beliebigen Matrix A
submatrix(A,ir,jr,ic,jc)	Ergibt die Matrix, die aus den Zeilen ir bis jr und den Spalten ic bis jc der Matrix A besteht
trace(A)	Berechnet die Spur (Summe der Diagonalelemente) einer quadratischen Matrix A
tril(A)	Liefert die untere Dreiecksmatrix zur Matrix A
triu(A)	Liefert die obere Dreiecksmatrix zur Matrix A
zeros(n,m)	Erstellt eine mit Nullen belegte n×m-Matrix

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