valores propios λ y los vectores propios asociados x de la matriz A se calculan iterativamente.
El método de iteración (también conocido como método de potencia) se remonta a Richard von Mises y Helmut Wielandt.
Los métodos no son adecuados para determinar valores propios complejos. Sin embargo, esto no ocurre en absoluto con matrices simétricas, por ejemplo.
Con la ayuda de los círculos de Gerschgorin se estima la posición de los valores propios para determinar los desplazamientos espectrales adecuados.
El valor propio encontrado en cada caso y los círculos de Gerschgorin para la estimación del valor propio se muestran en el plano complejo.
Si desea determinar valores propios que no tienen una posición extrema, puede utilizar la iteración de potencia inversa con desplazamiento espectral.
Si realiza un desplazamiento espectral de -v, todos los valores propios de la matriz se desplazan de tal manera que el valor propio,
que originalmente era el más cercano a +v, se convierte en el más pequeño absoluto y, por lo tanto, se puede encontrar usando la iteración de potencia inversa.
Método de la Potencia
Para determinar el vector propio del valor propio más grande de una matriz A, puede utilizar el siguiente algoritmo:
xn = Axn-1 / |Axn-1|
Comenzamos con un vector x0, que contiene números aleatorios.
Si el método converge, xn converge contra el vector propio al valor propio con la mayor magnitud.
El valor propio más grande se puede determinar utilizando el llamado cociente de Rayleigh:
λmax = xTAx / (xTx)
Así que siempre sólo tienes que multiplicar la matriz con la última aproximación y luego normalizar el vector resultado.
Si la diferencia entre dos aproximaciones es lo suficientemente pequeña, te detienes.
Método de la Potencia Inversa
Los vectores propios de la inversa A-1 de una matriz son los mismos que los de la matriz A.
Los valores propios de la inversa A-1 son los recíprocos de los valores propios de A.
Por lo tanto, al analizar los valores propios de A, también se puede partir de la inversa A-1.
Los valores propios de mayor magnitud de A ahora corresponden a los de menor magnitud de A-1
y los valores propios de magnitud más pequeña de A corresponden a los de magnitud más grande de A-1.
En consecuencia, la iteración de potencia también se puede utilizar para determinar el valor propio de magnitud más pequeña y el vector propio asociado de una matriz.
Solo hay que hacer la iteración con la inversa de la matriz respectiva y tomar el recíproco del valor propio encontrado.
Desplazamiento espectral
Si una matriz A tiene los valores propios λ1, λ2, λ3, ... ,
entonces la matriz A - cI tiene los valores propios λ1-c, λ2-c, λ3-c, ...
Por lo tanto, todos los valores propios se desplazan en el tamaño c.
Los vectores propios no cambian con este desplazamiento espectral.
Por lo tanto, para determinar un valor propio que se supone cerca de c,
primero cree una matriz con un desplazamiento espectral de -c y luego use la iteración de potencia inversa
determine el valor propio más pequeño λd de esta matriz desplazada.
El valor propio de la matriz original que está buscando es entonces λd+c.
Círculos de Gerschgorin
Según la estimación de valores propios según Gerschgorin, en el plano de números complejos existen discos circulares,
en cuya unión se encuentran todos los valores propios de una matriz.
Los centros del círculo son los elementos diagonales de la matriz.
Los radios de los círculos se determinan a partir de la suma de las cantidades de los elementos restantes de la fila.
Alternativamente, también puede sumar las cantidades de los elementos restantes de la columna.