Valeurs propres et vecteurs propres par itération vectorielle
Pour le problème des valeurs propres
Ax = λ x
les valeurs propres λ et leurs vecteurs propres x correspondants de la matrice A sont calculés itérativement.
Les méthodes itératives (également connues sous le nom de méthode de la puissance) sont basées sur les travaux de Richard von Mises et Helmut Wielandt.
Ces méthodes ne conviennent pas à la détermination des valeurs propres complexes. Cependant, celles-ci n'apparaissent pas, par exemple, dans les matrices symétriques.
La position des valeurs propres est estimée à l'aide des cercles de Gershgorin afin de déterminer les décalages spectraux appropriés.
La valeur propre trouvée et les cercles de Gershgorin utilisés pour son estimation sont représentés dans le plan complexe.
Pour déterminer les valeurs propres qui ne sont pas extrêmes, on peut utiliser l'itération vectorielle inverse avec décalage spectral.
Si un décalage spectral de -d est appliqué, toutes les valeurs propres de la matrice se décalent de sorte
que la valeur propre initialement la plus proche de +d devienne la plus petite valeur absolue et puisse donc être trouvée par itération vectorielle inverse.
Itération vectorielle
Pour déterminer le vecteur propre associé à la valeur propre de plus grande valeur absolue d'une matrice A, l'algorithme suivant peut être utilisé :
xn = Axn-1 / |Axn-1|
Le processus commence avec un vecteur x0 contenant des nombres aléatoires.
Si la procédure converge, xn converge vers le vecteur propre de plus grande valeur absolue.
La plus grande valeur absolue (ou dominante) peut alors être déterminée à l'aide du quotient de Rayleigh:
λmax = xTAx / (xTx)
Il suffit de multiplier la matrice par la dernière approximation, puis de normaliser le vecteur résultant.
Si la différence entre deux approximations est suffisamment petite, le processus s'arrête.
Itération du vecteur inverse
Les vecteurs propres de l'inverse A-1 d'une matrice sont les mêmes que ceux de la matrice A.
Les valeurs propres de l'inverse A-1 sont les inverses des valeurs propres de A.
Par conséquent, pour analyser les valeurs propres de A, on peut également partir de son inverse A-1.
Si l'on détermine toutes les valeurs propres de A-1, on obtient les inverses de toutes les valeurs propres de A.
La valeur propre de A de plus grande valeur absolue correspond à… L'inverse de la valeur propre de A-1 ayant la plus petite valeur absolue.
Et la valeur propre de A ayant la plus petite valeur absolue est l'inverse de la valeur propre de A-1 ayant la plus grande valeur absolue.
Par conséquent, l'itération vectorielle permet également de déterminer la valeur propre de plus petite valeur absolue et le vecteur propre correspondant d'une matrice.
Il suffit d'effectuer l'itération avec l'inverse de la matrice et de prendre l'inverse de la valeur propre ainsi obtenue.
Décalage spectral
Si une matrice A possède les valeurs propres λ1, λ2, λ3, ...,
alors la matrice A - dI possède les valeurs propres λ1 - d, λ2 - d, λ3 - d, ... I est la matrice identité, dont la diagonale ne contient que des 1.
Par conséquent, toutes les valeurs propres subissent un décalage de d. Les vecteurs propres restent inchangés par ce décalage spectral.
Ainsi, pour déterminer une valeur propre proche de λ = d, on suppose que :
on crée d'abord une matrice avec un décalage spectral de -d, et ensuite, en utilisant l'itération vectorielle inverse,
la valeur propre de plus petite valeur absolue, λS, de cette matrice est déterminée.
La valeur propre recherchée de la matrice originale est alors λS+d.
Cercles de Gershgorin
D'après l'estimation des valeurs propres par Gershgorin, il existe dans le plan complexe des disques circulaires,
dont l'union contient toutes les valeurs propres d'une matrice.
Les centres des cercles sont les éléments diagonaux de la matrice.
Les rayons des cercles sont déterminés par la somme des valeurs absolues des éléments restants des lignes correspondantes.
On peut également sommer les valeurs absolues des éléments restants des colonnes correspondantes.