Mohrscher Spannungskreis und Hauptnormalspannungen

Für den allgemeinen 3-dimensionalen Spannungszustand, der durch 6 Spannungsangaben bestimmt ist, werden die Hauptnormalspannungen und die Hauptnormalspannungsrichtungen bestimmt.
Die Hauptnormalspannungen und die Mohrschen Spannungskreise werden grafisch dargestellt.
Die gelben Punkte markieren die Hauptnormalspannungen σ₁, σ₂, σ₃.
Die zugehörigen Richtungen sind Richtungen, unter denen die zugehörige Schubspannung verschwindet.

Im schattierten Bereich zwischen den Kreisen, einschließlich der Kreisperipherie, liegen alle möglichen Paare von Normalspannung und Schubspannung (σ, τ), die der angegebene Spannungszustand hervorruft.
Die 3 roten Punkte (σ_x, (τ_xy²+τ_xz²)^1/2), (σ_y, (τ_yz²+τ_yx²)^1/2) und (σ_z, (τ_zx²+τ_zy²)^1/2) errechnen sich aus den angegeben Spannungen bezogen auf das xyz-Koordinatensystem.
Sie beschreiben den Spannungszustand aus Sicht eines kleinen Quaders, der nach dem xyz-Koordinatensystem ausgerichtet ist.

Beim zweiachsigen Spannungszustand (σ_z=0, τ_yz=0, τ_zx=0) kann man einen Kreis zeichnen, bei dem die beiden roten Punkte (σ_x, τ_xy) und (σ_y, -τ_xy) des gegebenen Spannungszustandes einander gegenüber auf der Peripherie des Kreises liegen.
Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei ((σ_x+σ_y)/2, 0).
Eine der drei Hauptnormalspannungen ist hier stets 0 und die zugehörige Hauptnormalspannungsrichtung ist die z-Richtung.
Das liefert einen dritten gelben Punkt bei (0, 0).

Beim dreiachsigen Spannungszustand existieren im Allgemeinen auf einer jeden Schnittfläche 2 Schubspannungen in zueinander senkrechten Raumrichtungen. Für deren Darstellung muss man sie zu einer resultierenden Schubspannung zusammenfassen. Dabei gehen Vorzeichen verloren. Somit hat man hier, anders als im zweiachsigen Falle, keine Punkte unterhalb der σ-Achse.
Ferner liegen die 3 roten Punkte (σ_x, (τ_xy²+τ_xz²)^1/2), (σ_y, (τ_yz²+τ_yx²)^1/2) und (σ_z, (τ_zx²+τ_zy²)^1/2) des Spannungszustandes jetzt nicht mehr unbedingt auf einer Kreisperipherie sondern können auch im schattierten Bereich zwischen den Kreisen liegen.

Errechnet werden die 3 Hauptnormalspannungen als Eigenwerte des Spannungstensors S, der folgendermaßen belegt ist:

σ_x	τ_xy	τ_xz
τ_yx	σ_y	τ_yz
τ_zx	τ_zy	σ_z

Wird außer den 6 Spannungen auch ein Richtungsvektor angegeben, werden die zu dieser Richtung zugehörige Normalspannung und Schubspannung berechnet.
Für einen normierten Richtungsvektor n und Spannungstensor S gilt:
σ_n = n^T S n
|τ_n| = (n^TS^T S n - σ_n²)^1/2.

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