Cercle de Mohr et Contraintes Principales

Pour la condition de contrainte tridimensionnelle générale, qui est déterminée par 6 valeurs de contrainte, les contraintes principales et les directions principales sont déterminées.
Les 3 principales contraintes normales σ1, σ2, σ3 sont les valeurs propres du tenseur de contraintes S:
σxτxyτxz
τyxσyτyz
τzxτzyσz

Les contraintes principales et cercles de Mohr sont représentés graphiquement.
Dans la zone ombrée entre les cercles, y compris la circonférence du cercle, toutes les paires possibles de contrainte normal et de contrainte cisaillement (σ,τ) sont présentes, ce qui cause l'état de contrainte indiqué.
Les 3 points rouges se réfèrent aux contraintes spécifiées par rapport au système de coordonnées x,y,z.
Les points jaunes marquent les contraintes principales. Les directions correspondantes sont les directions pour lesquelles il n'y a pas de contrainte cisaillement.

Pour l'état de contrainte à deux dimensions (σz = 0, τyz = 0, τzx = 0) vous pouvez dessiner un cercle dans lequel les deux points rouges (σx, τxy) et (σy, -τxy) de l'état de contrainte donné sont opposés à la périphérie du cercle.
L'une des trois contraintes principales est toujours 0 et la direction de la contrainte principale associée est la direction z.

Dans l'état de contrainte tridimensionnel il y a généralement deux contraintes cisaillements dans des directions spatiales mutuellement perpendiculaires dans chaque surface de coupe imaginaire.
Pour leur représentation ils doivent être combinés dans une contrainte résultante. Les signes sont perdus. Ainsi, contrairement au piège à deux axes, il n'y a pas de points en dessous de l'axe σ.
De plus, les trois points rouges (σx, (τxy2 + τxz2)1/2), (σy, (τyx2+τyz2)1/2) et (σz, (τzx2+τzy2)1/2) ne sont plus nécessairement à la périphérie du cercle mais peut également être dans la zone ombrée entre les cercles.

Si un vecteur de direction est spécifié en plus des 6 contraintes, la contrainte normale σn et la contrainte de cisaillement τn associées à cette direction sont calculées.
Pour un vecteur direction normalisé n et le tenseur de contrainte S on obtient:
σn = nT S n
|τn| = (nTST S n - σn2)1/2.
 


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