Sistemas de Ecuaciones No Lineales
Aquí las ecuaciones no lineales (y también lineales) y los sistemas de ecuaciones se resuelven usando el método de Newton-Raphson.
Las incógnitas en las ecuaciones pueden tener cualquier nombre. Su número debe corresponder al número de ecuaciones.
Ecuaciones no lineales normalmente tienen mas que una solución.
La resolución exigue un proceso iterativo, empezando con algunas valores iniciales.
Qual solución se encontrar y si después de todo se encontrar alguna solución depende de esos valores iniciales.
Los valores iniciales se pueden especificar explícitamente (p. ej., x=5) o como un intervalo (p. ej., x=4.5,5.5).
Si no hay valores iniciales, el programa toma valores aleatorios del intervalo [-10,10].
Al especificar "Número de cálculos", se pueden realizar varias ejecuciones de cálculo al mismo tiempo, según las especificaciones.
Ecuaciones lineales normalmente tienen una solución unica (si la determinante de la matriz de coeficientes no es 0).
Para ecuaciones lineales la resolución iterativa no es óptima, pero funciona.
Hay una lista de funciones que se pueden usar en las ecuaciones.
Método de Newton-Raphson
Para resolver el sistema de ecuaciones generalmente no lineales
f(x) = 0
el método de Newton realiza los siguientes dos pasos iterativos:
1) J(xk) sk = -f(xk)
2) xk+1 = xk + sk
Aquí, J(x) es la matriz jacobiana que contiene todas las derivadas parciales de primer orden de f(x):
Ji,k = ∂fi/∂xk
El primer paso es resolver un sistema de ecuaciones lineales para determinar sk.
El segundo paso es mejorar una solución aproximada existente xk utilizando sk.
Caso especial: sistema de ecuaciones lineales
Para un sistema de ecuaciones lineales, se aplica lo siguiente:
f(x) = A x - b = 0.
Dado que todas las incógnitas en f(x) solo ocurren linealmente, la matriz jacobiana es independiente de x
y, por lo tanto, se aplica lo siguiente:
J(x) = A.
Por lo tanto, el primer paso del procedimiento se simplifica a:
A sk = -A xk + b.
Formalmente reorganizado:
A sk + A xk = b,
o
A (sk + xk) = b.
Resuelto para sk + xk:
sk + xk = A-1 b.
Sustituido en el segundo paso, esto da:
xk+1 = A-1 b
o
A xk+1 = b.
Aquí, podemos ver que, en el caso de un sistema lineal de ecuaciones, la iteración teóricamente proporciona la solución en un solo paso.
Sin embargo, para este paso, el sistema lineal de ecuaciones debe resolverse una vez de todos modos.
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