Platteneigenschwingungen

Ein zu untersuchendes Modell wird festgelegt durch:
 

Plattenschwingungen

Eine elastische, massebehaftete Platte kann senkrecht zu ihrer Erstreckungsebene freie Schwingungen machen, die hier untersucht werden.
Für die FEM-Rechnung wird das DKT- (Diskrete Kirchhoff Theory) Element nach Batoz verwendet. Es ist nur für dünne Platten geeignet.
Mit diesem FEM-Dreieckselement werden die Eigenfrequenzen und zugehörigen Eigenformen bestimmt. Auch erfolgt eine Schwingungssimulation der Platte in ihren Eigenformen.

Grundsätzlich sind bei freien Schwingungen von elastischen Strukturen nur bestimmte Formen und Frequenzen möglich, sogenannte Eigenformen mit den zugehörigen Eigenfrequenzen.
Bei einer elastischen Struktur mit verteilten Massen und Steifigkeiten gibt es allerdings unendlich viele solcher Eigenfrequenzen.
Da häufig nur wenige dieser, nämlich die jeweils niedrigsten, Eigenfrequenzen von Interesse sind, kann man bei der Berechnung auf die höheren Eigenfrequenzen verzichten.
Die Beschränkung auf wenige, untere Eigenfrequenzen ist aus mehreren Gründen sinnvoll. Zum einen steigt der Rechenaufwand bei Verwendung von Modellen mit vielen Freiheitsgraden schnell an.
Ferner werden die mit FEM bestimmten Eigenfrequenzen mit steigender Ordnung zunehmend ungenauer. Das Modell ist für sie in der Regel zu steif.
Auch sind die Eigenformen der höheren Eigenfrequenzen für die reale Struktur schwerer anzuregen. Sie werden obendrein durch Strukturdämpfung stärker gedämpft.

Zur Definition des jeweiligen Problems sind hier im Wesentlichen 2 Schritte notwendig. Zuerst muss die Plattengeometrie festgelegt werden.
Sie muss durch einen geschlossenen Polygonzug der Randpunkte festgelegt werden.
Dann müssen noch entlang des Randes die Bereiche angegeben werden, an denen die Platte Lagerungsbedingungen hat: Wenn keine Lagerungsbedingungen angegeben werden, werden die Eigenfrequenzen und Eigenformen der ungefesselten Platte bestimmt.
Dann sind stets Starrkörpereigenformen mit Eigenfrequenz 0 vorhanden. Das sind natürlich keine Schwingungseigenformen, auch wenn sie hier durch Bewegung dargestellt werden.

Warum sind Eigenfrequenzen von Strukturen von Interesse?

Wenn man eine elastische Struktur zu Schwingungen anregt, ergeben sich Schwingungen, die man als Überlagerung aller ihrer Eigenschwingungsformen darstellen kann. Dabei dominieren die Eigenformen, deren zugehörige Eigenfrequenz in der Nähe der Anregungsfrequenz liegt. Erregt man eine Struktur mit einer ihrer Eigenfrequenzen, so ergeben sich in der Regel sehr starke Antwortamplituden.

Das ist in der Regel unerwünscht, so dass man bei Kenntnis der Eigenfrequenzen gezielt versuchen sollte, eine Anregung dieser Frequenzen zu vermeiden.

Rechengenauigkeit und Netzfeinheit

Das im Programm verwendete Dreieckselement basiert auf einem kubischen Verschiebungsansatz nach Batoz. Die Visualisierung interpoliert der Einfachheit halber aber nur linear innerhalb eines jeden Elementes. Deshalb gibt es an den Elementgrenzen Knicke, die aber nicht der Modellgüte entsprechen.
Für eine "schöne" Darstellung muss man daher, je nach Ordnung der gewünschten Eigenform, eine bestimmte Mindestanzahl an Knoten vorgeben. Die automatische Netzgenerierung nimmt dann eine Triangulierung des Gebietes vor, so dass in etwa die gewünschte Anzahl von Knoten verwendet wird.
Mit steigender Anzahl an Knoten und somit auch Elementen steigt im Allgemeinen auch die Güte der Berechnungsergebnisse. Dieses um so mehr, je kleiner die Ordnung des zu berechnenden Eigenwertes ist. Eigenwerte höherere Ordnung sind hingegen stets stärker fehlerbehaftet.
Im Vergleich zu Spannungsberechnungen benötigt man bei Eigenfrequenzberechnungen in der Regel nicht so feine Netzunterteilungen.
Weil der Rechen- und damit Zeitaufwand mit der angeforderten Anzahl von Eigenwerten stark zunimmt, lässt man in der Regel nur eine bestimmte Anzahl der unteren Eigenwerte berechnen.
Eigenformen der Eigenwerte höherer Ordnung realer Strukturen lassen sich in der Regel ohnehin schwer anregen, weil sie stärker durch die innere Strukturdämpfung gedämpft werden.

Ausnutzung von Symmetrie

Wie auch bei statischen Untersuchungen ist es möglich die Symmetrie eines Modells auszunutzen.
Dazu muss man das Modell entlang seiner Symmetrieachse halbieren.
Des weiteren muss man für alle Knoten auf der Symmetrieachse zusätzliche Lagerungsbedingungen einführen.
Hier gilt es 2 Fälle zu unterscheiden: Man muss dann zwar 2 Rechenläufe machen um alle Eigenformen und Eigenfrequenzen zu erhalten.
Dafür ist der Rechenaufwand summarisch deutlich kleiner.
Auch kann man in den Halbmodellen mit größerer Knotenanzahl rechnen, ohne dass die Rechenzeit Probleme macht.

Vergleich mit analytischer Lösung für eine Rechteckplatte

Für eine allseitig gelenkig gelagerte Rechteckplatte mit den Abmessungen a,b und der Plattenstärke h
sind die Eigenfrequenzen

fnm = π/2 · (B/ρ/h)1/2 · (n2/a2 + m2/b2)   mit n,m=1,2,3, ...

Dabei ist
B = E h3/12/(1-ν2) .

Die zugehörigen Eigenformen sind, wenn man die untere linke Ecke der Platte in den Ursprung legt und die obere rechte Ecke auf den Punkt (a/b)

wnm(x,y) = sin(n·πx/a) · sin(m·πy/b)   mit n,m=1,2,3, ...

Für die konkreten Werte
E = 2.18·1011N/m2
a=0.6m
b=0.4m
h=0.0014m
ρ=8392 kg/m3
ν=0.31
wurden für unterschiedliche Knotenanzahlen Näherungslösungen bestimmt.
In der folgenden Tabelle sind die Ergebnisse und die theoretisch exakten Lösungen dargestellt.

Rechteckplatte-Eigenfrequenzen

Die in den Eigenformen verwendeten ganzzahligen Parameter n und m zählen dabei indirekt die Anzahl der Knotenlinien, die eine Eigenform in x- bzw. y-Richtung hat.
Knotenlinien sind Linien, entlang derer eine Schwingungsform zeitunabhängig keine Auslenkung hat.
Die Eigenform mit der niedrigsten Eigenfrequenz mit n=m=1 hat noch keine Knotenlinie, weder in x-noch in y-Richtung.
Mit steigendem n bzw. m steigt die Anzahl der zugehörigen Knotenlinien auf n-1 bzw m-1.

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