Nullstellen von Polynomen
Anders als bei der quadratischen Gleichung, für die sich die Nullstellen leicht errechnen lassen,
ist die Berechnung schon bei der kubischen Gleichung zwar noch möglich, allerdings relativ aufwendig.
Für Polynome n-ten Grades mit n > 4 ist die Berechnung "von Hand" im Allgemeinen nicht möglich.
Daher werden hier für beliebige Polynome alle reellen und komplexen Nullstellen numerisch berechnet und als Tabelle ausgegeben.
Zusätzlich wird das Polynom für den Bereich der Nullstellen grafisch dargestellt.
Gemäß des Fundamentalsatzes der Algebra hat ein Polynom n-ten Grades maximal n reelle Nullstellen.
Wenn man auch komplexe Nullstellen mitzählt, hat ein Polynom n-ten Grades genau n Nullstellen (Mehrfachnullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt).
Ein Polynom n-ten Grades der Form
anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0
wird hier über seine n+1 Koeffizienten ai festgelegt. Koeffizienten können natürlich auch 0 sein.
Alternativ kann man das Polynom auch direkt als Summe von Potenzen von x (mit ^ als Potenz-Operator) eingeben.
So sind beispielsweise folgende 2 Alternativen möglich, um dasselbe Polynom 5-ten Grades festzulegen:
x^5 - 8x^3 + 2x + 1 oder 1 0 -8 0 2 1
Einfach bestimmbare Nullstellen
Für jedes Polynom 2.Grades der From
a x2 + b x + c
lassen sich die 2 Nullstellen stets bestimmen:
x1,2 = -b/2a ± ((b/2a)2 - c/a)1/2
In Abhängigkeit vom Vorzeichen des Radikanten der Wurzel können die Nullstellen auch komplex sein.
Für das biquadratische Polynom
a x4 + b x2 + c
kann man zunächst ersetzen
z = x2.
Man erhält dann
a z2 + b z + c
mit den Nullstellen
z1,2 = -b/2a ± ((b/2a)2 - c/a)1/2
und schließlich die 4 Nullstellen
x1,2 = ± z11/2
x3,4 = ± z21/2
Für das Polynom
xn + b x mit b ≠ 0 und n ∈ { 2, 3, 4, ... }
liegen die n komplexen Nullstellen gleichverteilt auf einem Kreis in der komplexen Zahlenebene mit Radius
r = |b|1/n
Die komplexen Nullstellen sind somit
xi = |b|1/n ei·(2πk + π)/n, k=1, 2, ..., n für b > 0
xi = |b|1/n ei·2πk/n, k=1, 2, ... , n für b < 0
Wenn n ungerade ist, gibt es genau eine reelle Nullstelle.
Wenn n gerade ist, gibt es für b > 0 kein reelle Nullstelle und für b < 0 zwei reelle Nullstellen.
Für ein Polynom der Form
an xn + an-1 xn-1 + ... + am xm mit m > 0
bzw.
xm · (an-m xn-m + an-m-1 xn-m-1 + ... + am-1 x + am)
erhält man eine m-fache Nullstelle bei x=0 und darüber hinaus die Nullstellen des durch Ausklammern entstandenen Restpolynoms.
Für allgemeine Polynome 3. und 4. Grades existieren zwar Formeln zur Bestimmung der Nullstellen.
Diese sind jedoch wegen der vielen benötigten Fallunterscheidungen für den "Handbetrieb" nicht geeignet.
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