Vibrations des Structures et des Poutres
Cette section étudie les vibrations naturelles des poutres planes et des structures à ossature.
Les fréquences naturelles et les modes de vibration sont calculés. Les vibrations des structures selon ces modes sont ensuite simulées.
Accès aux données du modèle
Un modèle à analyser est défini par :
- Tous les points d'appui de la structure, les points d'application des masses locales et les points de changement de section.
Lors de la saisie des coordonnées d'un point, vous pouvez accéder aux coordonnées des autres points via x1, y1, x2, y2, etc.
De plus, vous pouvez créer des nœuds par un double-clic et les déplacer par un clic et un glisser-déposer à la souris.
- Liste des éléments structuraux. Pour chaque élément, ses deux extrémités doivent être spécifiées.
Son indice de matériau est également requis (par exemple, 1 si un seul matériau est utilisé).
La dernière entrée (Type) détermine s'il s'agit d'une poutre (Type 0), d'un élément de treillis (Type 3) ou d'une poutre articulée à l'avant (Type 1) ou à l'arrière (Type 2).
Les éléments peuvent également être créés par glisser-déposer à la souris.
- Spécifications des matériaux : aire de la section transversale A, moment d'inertie de la section I, module d'élasticité et masse volumique ρ.
- Spécifications des masses locales (le cas échéant).
Si seul le paramètre m est spécifié, il s'agit de masses ponctuelles (2 degrés de liberté).
Si le paramètre J est également spécifié, le moment d'inertie de cette masse est pris en compte (3 degrés de liberté).
- Spécifications des supports : des objets fixes peuvent être appliqués à des points précis selon les axes x et y, et être bloqués en rotation.
Les structures à ossature peuvent être modélisées ici à l'aide d'éléments de poutre avec ou sans inertie, selon que leur densité ρ est spécifiée ou non.
Si seuls des éléments de poutre sans inertie sont utilisés, le système doit comporter au moins une masse vibrante locale.
Dans ce cas, une subdivision fine de la structure n'est pas nécessaire.
Il en va autrement avec les éléments de poutre inertiels. Un plus grand nombre d'éléments permet alors de calculer davantage de fréquences propres.
Le programme ne reconnaissant pas les unités, il incombe à l'utilisateur de s'assurer de la cohérence des données saisies.
Par conséquent, l'approche la plus simple consiste à utiliser des données dans le système international d'unités (SI).
Autrement dit, les coordonnées sont en mètres (m), les forces en newtons (N), les masses en kilogrammes (kg), les moments d'inertie en kg·m², etc.
À l'origine, le programme était conçu pour traiter uniquement les éléments de poutre (ressorts de flexion) et les barres de treillis.
Cependant, une extension mineure (et non entièrement réussie) permet également d'utiliser des ressorts classiques.
Il s'agit de ressorts de type 4. La raideur et, éventuellement, la masse du ressort sont fournies par les propriétés du matériau Ei et ρi.
Les ressorts possèdent essentiellement la même matrice de raideur que les barres de treillis, à la différence que leur raideur est directement donnée et n'est pas calculée à partir de A × E/L.
Données modales
Le système d'équations différentielles du mouvement d'un oscillateur multi-masses non amorti est donné par :
M u•• + K u = 0.
Si l'on considère les vecteurs propres φi du système associé
(-ω2M + K) φ = 0
et qu'on les combine par colonnes dans une matrice Φ, on peut transformer le système d'équations différentielles en un système
dans lequel les équations sont découplées :
ΦTM Φ v•• + ΦTK Φ v = 0.
Les nouvelles coordonnées généralisées du système sont maintenant situées dans v.
Les masses généralisées sont alors situées sur la diagonale principale de la nouvelle matrice de masse ΦTM Φ.
Les rigidités généralisées sont alors situées sur la diagonale principale de la nouvelle matrice de rigidité ΦTK Φ.
Ces deux matrices sont diagonales, ce qui signifie que leurs valeurs hors diagonale sont nulles.
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